Называется степенным рядом

Ряд вида

Степенные ряды. Основные определения.

Конспект лекции

(1)

Числа называются коэффициентами степенного ряда.

Придавая различные числовые значения, будем получать раз­личные числовые ряды, которые могут оказаться сходящимися или расходящимися Множество тех значений , при которых ряд (1) сходится, называется областью его сходимости. Это множество всегда не пусто, так как любой степенной ряд сходится при .

Очевидно, что частичная сумма степенного ряда является функцией переменной . Поэтому и сумма ряда также является некоторой функцией переменной , определенной в области сходимости ряда: (или ).

2. Интервал сходимости степенного ряда. Теорема Абеля об области сходимости степенных рядов.

Докажем теорему, имеющую важное значение в теории степенных рядов и касающуюся области сходимости степенного ряда

Теорема 1 (теорема Абеля)

1) Если степен­ной ряд (1) сходится при , то он сходится, и при­том абсолютно, для всех , удовлетворяющих условию ;

2) если ряд (1) расходится при , то он расходится для всех , удовлетворяющих условию .

Доказательство. 1) Так как по условию числовой ряд сходится, то его общий член при , откуда следует, что последовательность ограничена, т.е. существует число такое, что

(2)

Перепишем ряд (1) в виде

(3)

и рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин его чле­нов

(4)

Члены ряда (4) в силу неравенства (2) меньше соответствующих членов ряда

(5)

при ряд (5) представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем и, следовательно, сходится.

Так как члены ряда (4) меньше соответствующих членов ряда (5), то, по признаку сравнения, ряд (4) также сходится, а это зна­чит, что ряд (1) при сходится абсолютно.

2) Докажем теперь вторую часть теоремы. По условию, в точ­ке ряд (1) расходится. Требуется показать, что он расходится для всех , удовлетворяющих условию . Предполо­жим обратное, т. е. допустим, что при некотором значении та­ком, что , ряд (1) сходится. Тогда по только что дока­занной первой части теоремы ряд (1) должен сходиться и в точке , так как . Но это противоречит тому, что в точке ряд

расходится. Теорема доказана.

Теорема Абеля утверждает,

а) что если — точка сходимости степенного ряда, то во всех точ­ках, расположенных на интервале (рис. 1 а), этот ряд сходится абсолютно,

б) если — точка расходимости степенного ряда, то во всех точках, рас­положенных вне интервала (рис. 1 _б), ряд рас­ходится.

Отсюда вытекает следующая теорема.

Теорема 2. Если, ряд сходится не при всех значениях и не

Дата добавления: 2014-01-11; Просмотров: 587; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!