Называется числовым рядом или просто рядом

Выражение вида

(1)

Числа называются членами ряда, член с про­извольным номером — общим членом ряда.

Суммы конечного числа членов ряда

называются частичными суммами ряда (1). Так как число членов ряда бесконечно, то частичные суммы ряда образуют бесконечную последовательность частичных сумм

(2)

Ряд (1) называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм (2) сходится к какому-нибудь числу , которое в этом случае называется суммой ряда (1). Символически это запи­сывается так:

или .

Если же последовательность частичных сумм (2) расходится, то ряд (1) называется расходящимся.

Пример 1. Покажем, что ряд

сходится. Возьмем сумму первых членов ряда

.

Слагаемые этой суммы могут быть представлены в виде

.

Поэтому

.

Отсюда следует, что предел последовательности частичных сумм данного ряда равен единице:

.

Таким образом, ряд сходится, и его сумма равна 1.

Пример 2. Установим, сходится или расходится ряд

.

Последовательность его частичных сумм имеет вид и, значит, не сходится ни к какому пределу, поэтому данный ряд расходится.

Пример 3. Рассмотрим ряд, составленный из элементов геомет­рической прогрессии

. (3)

Частичная сумма этого ряда при имеет вид

.

Отсюда:

1) если , то , т. е. ряд сходится и его сумма . Например, при имеем: ;

2) если , то , т. е. ряд расхо­дится;

3) при ряд (3) принимает вид

В этом случае , т. е. ряд расходится;

4) при ряд (3) принимает вид Для него , т. е. при четном и при нечетном. Следовательно, не существует и ряд расходится.

Таким образом, ряд (3) является сходящимся при и расходящимся при .

2. Свойства сходящихся рядов.

Теорема 1. Если схо­дится ряд