Интегрирование рациональных функций

В зависимости от отдельных пищевой веществ, г

* При наличии сахарного диабета необходимо уменьшить потребление сахара до 3% суточной калорийности, т.е. женщинам потреблять менее 15 г, мужчинам – менее 20 г в сутки.

** При наличии АГ суточное потребление соли надо снизить до 3 г.

ПЛАН

1. Правильные и неправильные рациональные дроби, выделение целой части у неправильной дроби.

2. Разложение правильной дроби на сумму простейших дробей, метод сравнивания коэффициентов.

3. Интегрирование простейших рациональных дробей.

4. Общее правило интегрирования рациональных дробей.

-1-

Целой рациональной функцией (многочленом) называется функция вида

, (1)

где а₀, а₁,…,а_n – постоянные, называемые коэффициентами многочлена; число n – постоянная, называемая показателем степени многочлена.

Дробно-рациональной функцией (или рациональной дробью) называется функция, равная отношению двух целых рациональных функций (многочленов), т.е. , где Р_m(х) - многочлен степени m, а Q_n(x) - многочлен степени n.

Дробно-рациональная функция называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя, т.е. m<n; в противном случае () функция называется неправильной.

Всякую неправильную дробно-рациональную функцию можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена L(х) и правильной рациональной функции , т.е. .

Например: - неправильная рациональная дробь. Разделим числитель на знаменатель в столбик.

Получим частное L(х)=х³+2х²+4х+3 и остаток R(х)=15. Следовательно,

= х³+2х²+4х+3+.

В случаях, когда дробь не громоздкая, можно поступить следующим образом:

1. .

2. .

3. .

-2-

Простыми дробями называют дроби следующих типов:

1) ; 2) ; 3); 4) ,

где A, M, N, a, p, q – действительные числа, k=2,3,…., m=2,3,….., квадратный трехчлен x²+px+q не имеет корней.

Рассмотрим 3 случая разложения дробно-рациональных функций:

1) Множители знаменателя линейные, они различны. Количество простых дробей равно показателю степени знаменателя.

.

2) Наряду с линейными различными множителями знаменателя (которых может и не быть) присутствуют повторяющиеся линейные множители. Количество простых дробей равно показателю степени знаменателя.

.

3) Наряду с линейными множителями знаменателя встречаются выражения второй степени, не разлагающиеся на линейные множители.

.

В рассмотренных примерах A, B, C, D, E, M, N – неизвестные коэффициенты (числа). Для их нахождения существует множество методов. Рассмотрим один из них - метод сравнивания коэффициентов (метод приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях х).

Алгоритм метода сравнивания коэффициентов.

1. Дробь разложить на простые дроби.

2. Правую часть дроби привести к общему знаменателю.

3. Знаменатели отбросить.

4. Приравнять коэффициенты при одинаковых степенях х.

5. Решить систему линейных уравнений, из которой и определить искомые коэффициенты.

Пример 2: Представим дробь в виде суммы простейших дробей.

Решение. ;

; ;

.

Приравнивая коэффициенты получим: .

Решая систему, получим A=-1, B=3, C=-2.

Следовательно,

Пример 3: Разложить на элементарные дроби.

Решение: Т.к. x²-5x+6=(x-3)(x-2), то

; ;

A=5, B=-3

Таким образом

- 3 -

Найдем интегралы от простейших рациональных дробей.

I. .

II. .

III.

Выделив в знаменателе полный квадрат, получим.

, причем

Сделаем подстановку . Тогда , dx=dt.

Положим , тогда получаем

Возвращаясь к переменной х, получим:

Пример 4. Найти .

Решение: , сделаем подстановку х+ 1 =t, тогда х=t- 1, dx=dt.

.

Рассмотрим другой подход.

Рассмотрим частный случай, если p =0, т.е. интеграл вида

Для нахождения этого интеграла достаточно найти интегралы

и

Интеграл сводится (вынесением множителя) либо к табличному интегралу: , если ac>0, либо к интегралу: , если ac<0.

Для нахождения интеграла используем замену переменной . Тогда , и

Окончательно имеем .

Возвращаясь к интегралу , заметим, что его можно привести к виду , если сначала выделить полный квадрат в знаменателе подынтегральной функции, а затем использовать соответствующую замену переменной.

-4-

Рассмотренный материал позволяет сформулировать общее правило интегрирования рациональных дробей.

1. Если дробь неправильная, то представить ее в виде суммы многочлена и правильной дроби.

2. Разложив знаменатель правильной рациональной дроби на множители, представить ее в виде суммы простейших рациональных дробей.

3. Проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших дробей.

Пример: Найти

Решение: , то

;

; ;

.

Дата добавления: 2014-01-11; Просмотров: 390; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!