Основная теорема о сходимости положительных рядов

Для того чтобы положительный ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была бы ограниченной, причём сумма ряда в этом случае равна .

Доказательство

1) Ряд сходится, т.е. последовательность его частичных сумм имеет предел, но всякая сходящаяся последовательность ограничена: .

2) , но , так как , следовательно, последовательность неубывающая и при этом ограниченная сверху. По теореме о пределе монотонной последовательности , т.е. ряд сходится.

Все признаки сходимости и расходимости положительных рядов основаны на этой теореме. Но непосредственное её применение лишь в редких случаях позволяет судить о характере ряда.

Сходимость или расходимость положительного ряда часто устанавливают путём сравнения его с другим рядом, заведомо сходящимся или расходящимся. В основе этого метода лежат три теоремы сравнения.

Дата добавления: 2014-01-11; Просмотров: 1061; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!