ТЕМА 6 Управление запасами

В большинстве случаев физически невозможно либо экономичес­ки невы­годно, чтобы товары поступали именно тогда, когда на них возникает спрос. При отсутствии запасов потребителям приходилось бы ждать, пока их заказы будут выполнены. Главная причина созда­ния запасов продовольствия и сель­скохозяйственного сырья — сезон­ность его производства. Кроме того, цены на сырье, применяемое из­готовителем, могут подвергаться значительным сезонным колебани­ям. Когда цена низка, выгодно создавать достаточные запасы сырья которые в течение всего сезона высоких цен по мере надобности ис­пользовались бы в производстве. Другой довод, особенно важный для предприятии розничной торговли, состоит в том, что объем продажи и прибыль возрастут, если имеется некоторый запас товаров предла­гаемых потребителю.

С помощью математических методов можно выработать правила управления запасами. Если для решения задач управления запасами применяются математические методы, то исследуемую систему необ­ходимо описать с помощью математической модели.

В этой главе рассматриваются как детерминированные, так и сто­хастические модели управления запасами, которые имеют не только теоретическое, но и практическое значение.

6.1. Модели управления запасами в экономике

Хотя вопросы, связанные с хранением запасов, имеют давнюю ис­торию. Только в начале нынешнего столетия были сделаны первые попытки использовать аналитические методы для их изучения. Пер­воначальным толчком к применению математических методов ана­лиза систем управления запасами послужило развитие промышлен­ности, технических и экономических наук, особенно науки об управ­лении производством. Реальную потребность в анализе впервые ощутили те отрасли промышленности, которым пришлось столкнуть­ся с вопросами календарного планирования производства и хране­ния запасов, когда продукция производится серийно (стоимость пе­реналадки достаточно высока) и поступает на заводской склад.

Впервые формулы, которые часто называют простыми формула­ми размера партии, были выведены Фордом Харрисом в 1915 г. С тех пор те же самые формулы были получены, по-видимому, самостоя­тельно многими исследователями. Подобные формулы часто назы­вают формулами Уилсона, так как они представляют собой один из результатов разработанной им схемы исследования детерминирован­ных моделей.

Лишь по окончании второй мировой войны, когда стали разви­ваться наука о методах управления и исследование операций, было обращено серьезное внимание на вероятностный характер процессов управления запасами. До этого системы управления запасами рас­сматривались как детерминированные, за исключением тех немногих случаев, когда были предприняты попытки каким-то образом учесть стохастический характер этих систем. Так, во время войны была со­здана статическая стохастическая модель, а вскоре после этого был разработан стохастический вариант простой модели размера партии. В последнее время экономисты и математики проявили интерес к управлению запасами и, в частности, к моделям динамики. Поиск оптимальных стратегий и является предметом теории оптимального управления запасами. Математическая формулировка задачи отыс­кания оптимальной стратегии существенно зависит от исследуемой ситуации. Однако общность принимаемых в расчет факторов позво­ляет говорить о единой модели управления запасами.

Основными элементами задачи оптимального управления запаса­ми являются:

1) система снабжения;

2) спрос на предметы снабжения;

3) возможности пополнения запасов;

4) функции затрат (в частном случае — цены);

5)ограничения;

6) принятая стратегия управления запасами.

Условимся, что здесь и далее под стратегией следует понимать выбранную снабженцем линию поведения, полностью определяю­щую его действия в рамках рассматриваемой модели.

Классификация моделей управления запасами

Под системой снабжения понимается совокупность складов, меж­ду которыми в ходе операции по снабжению осуществляются перевозки хранимого имущества. Функция затрат составляется и мини­мизируется для системы в целом, а не для каждого отдельного склада. Возможны два варианта построения систем снабжения: децентрали­зованный (однокаскадный) и эшелонированный (многокаскадный). В первом случае все склады непосредственно обслуживают потреби­телей, и недостача предметов снабжения на одном или нескольких складах может быть покрыта за счет избытка их запасов на других складах. Источник пополнения запасов для всех складов принимает­ся неисчерпаемым. Во втором случае каждая недостача покрывается за счет конечных запасов склада высшей ступени.

Системы снабжения классифицируются также по числу хранимых видов товаров (однокомпонентные и многокомпонентные) и по ста­бильности свойств хранимого имущества. Чаще всего предполагает­ся, что ни свойства, ни количество хранимого имущества не подвер­жены естественным изменениям. Однако могут быть случаи его есте­ственной порчи (продукты питания) или, наоборот, возрастания «полезности» предметов хранения со временем (вина, произведения искусства).

Все системы снабжения в зависимости от планируемого числа пе­риодов операции по управлению запасами можно разделить на ста­тические (один период, этап) и динамические (многоэтапные).

Спрос на предметы снабжения может быть:

• стационарным или нестационарным;

• детерминированным или стохастическим;

• непрерывно распределенным или дискретным;

• зависящим от спроса на другие виды товаров или независимым. Пополнение запасов всегда происходит с некоторой случайной за­держкой относительно момента выдачи требования. Однако роль и величина этой задержки зависят от конкретных условий, что позво­ляет в ряде случаев упростить задачу. Степень возможного упроще­ния определяется тем, какой из следующих вариантов реализуется:

• мгновенная поставка;

• задержка поставок на фиксированный срок;

• задержка поставок на случайный интервал времени (подчинен­ный известному закону распределения).

Функции затрат, как правило, являются критериями качества и учитывают следующие издержки:

• расходы на хранение;

• транспортные расходы и затраты, связанные с заказом каждой новой партии;

• затраты на штрафы.

Иногда в минимизируемую функцию включаются (с отрицатель­ным знаком) доходы, полученные от продажи остатков запаса в кон­це каждого периода.

В зависимости от особенностей исследуемой ситуации рассматри­ваются следующие варианты выбора отдельных составляющих фун­кции затрат.

Издержки хранения:

• пропорциональные среднему уровню запаса за период и продол­жительности существования положительного запаса;

• пропорциональные остатку (положительному) к концу периода;

• нелинейные функции среднего запаса и продолжительности су­ществования положительного запаса или функции положительного остатка к концу периода.

Стоимость поставки'.

• пропорциональная объему поставки;

• постоянная (независимо от объема и числа номенклатур);

• пропорциональная числу номенклатур в заявке;

• пропорциональная необходимому приросту интенсивности про­изводства. Штрафы:

• пропорциональные средней положительной недостаче за пери­од и продолжительности существования недостачи;

• пропорциональные положительной недостаче к концу периода;

• постоянные (при ненулевой недостаче);

• нелинейные функции средней недостачи и продолжительности существования недостачи или недостачи к концу периода.

Ограничения в задачах управления запасами могут быть самого различного характера, например по таким показателям, как:

• максимальный объем запасов;

• максимальный вес;

• максимальная стоимость;

• средняя стоимость;

• число поставок в заданном интервале времени;

• максимальный объем (вес, стоимость) поставки;

• доля требований, удовлетворяемых только после прибытия оче­редной поставки (детерминированный случай);

• вероятность недостачи (вероятностный случай). Стратегия управления запасами, т.е. структура правила определе­ния момента и объема заказа, в практических приложениях обычно считается известной, и задача сводится к определению одной или не­скольких констант (параметров стратегии). Примером подобной стратегии может быть следующая: если объем запасов г меньше кри­тического уровня Y*, то количество товаров, которое необходимо заказать, составляет Y* - г; если же объем запасов z больше или равен Y*, то ничего заказывать не надо.

Необходимо отметить, что область применения теории управления запасами отнюдь не ограничивается складскими операциями. В частности, под запасом можно подразумевать:

• наличие товара;

• рабочую силу, которую планируется использовать для выполне­ния определенного задания;

• размер капитала страховой, финансовой компании;

• емкость складских помещений;

• грузоподъемность транспортных средств;

• производственную мощность предприятия;

• численность персонала данной квалификации.

Таким образом, при соответствующем переосмыслении элементов модели, методами теории управления запасами можно решать очень широкий круг задач оптимального планирования. Однако для удоб­ства изложения мы сохраним снабженческую терминологию.

В заключение необходимо отметить, что постановка практичес­ких задач управления запасами, как правило, приводит к многоно­менклатурным ситуациям, необходимости совместного рассмотрения группы складов, случайным задержкам во времени. Все эти факторы существенно усложняют расчет оптимальных стратегий.

Ситуация, однако, существенно упрощается при выполнении каж­дого из следующих условий:

а) поставка предметов снабжения производится от независимых поставщиков;

б) штрафы за недостачу либо суммируются по всем номенклату­рам, либо вообще отсутствуют;

в) на выбор параметров стратегии управления запасами не нало­жено общих для группы номенклатур ограничений или такие ограни­чения несущественны;

г) критерием качества организации снабжения для каждого скла­да служит сумма затрат на данном складе;

д) отношение среднего квадратического отклонения задержки по­ставок к ее среднему значению мало.

Выполнение условий а, бив позволяет расчленить многономенк­латурную задачу на однономенклатурные, благодаря условию г по­является возможность независимого рассмотрения каждого склада а выполнение условия д обеспечивает приближенное сведение случай­ной задержки поставок к фиксированной (в частности, к нулевой).

Последующие разделы главы будут посвящены методам матема­тического анализа моделей управления запасами, в которых хотя бы приближенно выполнены все перечисленные условия. Такие модели, несмотря на их предельную простоту, не являются беспочвенной аб­стракцией: зарубежный и отечественный опыт свидетельствует о мас­совом применении этих подходов.

Детерминированные модели управления запасами

Рассмотрим метод расчета параметров оптимальных стратегий при детерминированном стационарном спросе на изолированном складе при следующих предположениях:

1) продолжительность планового периода неограниченна;

2) интенсивности спроса и поставок постоянны и равны ц и X, со­ответственно;

3) время и уровни запасов описываются непрерывными перемен­ными;

4) накладные расходы на запуск производства постоянны и равны g;

5) затраты на содержание запасов и издержки, вызванные дефици­том, пропорциональны среднему уровню запасов и среднему уровню дефицита соответственно; /; — стоимость хранения одного изделия в течение единицы времени; р — штрафные потери за нехватку одного изделия в течение единицы времени.

Динамика изменения уровня запаса при детерминированном спро­се показана на рис.

Y*

0 T

t₁ t₂ t₃ t₄

-y*_

Полный цикл работы склада имеет продолжительность Т. Обозначим через предельный запас на складе. Считая расходы на хранение (и штрафы) пропорциональными среднему запасу (дефициту) и времени их существования, получаем следующее выражение для функции затрат за цикл:

Очевидно, что

Максимальный дефицит выражается через как

При и , получаем

С учётом линейности изменения уровня запаса функция затрат будет иметь следующий вид:

В развёрнутом виде

Откуда затраты в единицу времени

Найдём частные производные от L₁ по и Т и приравняем их к нулю:

Совместное решение этих уравнений даёт для оптимальных и Т условия:

При этом достигается минимум затрат в единицу времени

Момент запуска производства определяется достижением наибольшего дефицита

Из полученных соотношений как частные случаи легко выводятся более известные формулы теории запасов.

Так, например, при высоком штрафе можно принять . При этом

,

(6.1.1)

а недостачи полностью исключаются ().

Другой частный случай соответствует высокой интенсивности восполнения запаса- условие, типичное для поставок с вышестоящего склада, когда весь объём затребованной партии отгружается разом. В этой модели

Наиболее широкое применение нашли формулы, выведенные при обоих рассмотренных допущениях (так называемые формулы Уилсона, полученные ещё в 20-х годах):

6.1.2

Пример 6.1: Нахождение оптимальных размеров заказываемой партии, интервала меэюду заказами и общих среднесуточных издержек.

На склад цемент доставляют на барже. Накладные расходы на запуск производства цемента и доставку его на склад равны 1960 руб. Издержки хранения 1 т цемента в течение суток составляют 10 коп. Найти оптимальные: размер заказываемой партии цемента, интервал времени между заказами поставок, среднесуточные общие издержки, если поставки осуществляются без задержки — мгновенно, а дефицит не допускается.

Исходные данные задачи: m = 50 т/сут, g = 1960 руб., h = 0,1 руб./ / (т • сут), l/m = 0, h/p = 0, = 0.

Для решения задачи используем формулы Уилсона. Оптимальный размер заказываемой партии:

Интервал между заказами:

Общие среднесуточные издержки:

Помимо рассмотренных выше показателей представляют интерес еще два — объем заказываемой партии q и точка заказа у при задержке 1 между заказом и началом поставки. Первый из них равен спросу m T за период, так что для общего случая

6.1.3

а при

В моделях с высоким штрафом . Точка заказа при задержке поставок определяется как .

Входящие в формулы данного параграфа экономические коэффи­циенты можно считать постоянными лишь в первом приближении — в некотором диапазоне объемов партий q. Так, цена заказа g и цена хранения h могут быть ступенчатыми возрастающими функциями q (при увеличении q, вероятно, потребуются дополнительные затраты на организацию производства, новые складские емкости). В подоб­ных случаях необходимо задать некоторое априорное значение (на­пример, середину допустимого диапазона), рассчитать и и по приведенным выше формулам найти q₁.

Если h(q₀)=h(q₁) и g(q₀) ⁼ g(q₁) полученное значение q является окончательным. В противном случае вычисления повторяются при h(q₁) g(q₁)и т.д. Последовательные приближения, как правило, схо­дятся к искомому решению достаточно быстро.

Практический интерес вызывает задача определения продажной цены изделия S с учетом зависимости от нее интенсивности спроса и.. Будем считать, что спрос обеспечивается полностью, а себестоимость единицы продукции составляет и. Используя (6.1.1), можно для до­хода в единицу времени записать выражение

Максимальный доход достигается при , или при

Решать подобные уравнения удобно графически.

6.2. Управление запасами при случайном спросе и задержке в поставках

Простейшим случаем управления запасами при вероятностном спросе является однократное принятие решения о пополнении запаса (если решение не принимается вообще, теряет смысл само понятие управления).

Практическими примерами таких ситуаций являются все одно­кратные процессы с относительно небольшой потребностью в мате­риалах и оборудовании (некоторые виды строительства, обеспечение испытательных работ), а также снабжение потребителей в труднодо­ступных и удаленных районах.

Модель этого вида может быть названа статической.

Структура оптимальных стратегий при вероятностном спросе и мгновенных поставках товаров

Пусть z — запас к началу операции;

Y— запас после его пополнения (очевидно, Y³ z),

х ³ 0 — случайный спрос за время Т операции;

f(x) — плотность распределения спроса;

с(Y-z) — расходы на пополнение запасов.

Предполагается, что поставка производится до прихода первого требования и, следовательно, расходуется запас Y. Если к концу опе­рации на складе осталось невостребованного товара (Y - x) > 0 сис­тема снабжения несет избыточные расходы на хранение h_T (Y - x), но может частично компенсировать убытки продажей этого товара за v(Y- x). При x ³ Y справедливо соотношение v(Y - x)=h_T(Y - x)=0. При неполном удовлетворении спроса x > Y, и только при этом усло­вии склад платит штраф р_T(х - Y).

Математическое ожидание расходов на хранение и штрафы:

6.2.1

Общие же средние затраты на хранение, штрафы и пополнение запасов будут равны

Продолжим с(Y - z) аналитически в область Y - z < 0 и будем счи­тать, что функция N_T(Y, z) определена для Y ³ О независимо от z. Найдем, при каком значении Y³ z величина L_T(Y, z) минимальна. Для этого вычислим производную

6.2.2

(здесь учтено, что h_T(0)=v(0) и приравняем её к нулю. Те решения , которым соответствует положительная вторая производная, дадут относительные минимумы N_T(z). В общем случае график зависимости затрат от запаса N_T(Y, z) для фиксированного z имеет несколько относительных минимумов (см. рис.)

N_T

Y

0 Y₁ Y₂ Y₃

Обозначим через Y₁ абсциссу абсолютного минимума функции N_T(Y, z), а через Y₃, Y₅, Y₇,… - абсциссы следующих за ним справа относительных минимумов этой функции. Далее, пусть Y₂, Y₄, Y₆,… - точки, удовлетворяющие условиям

и т.д.

Тогда оптимальная стратегия будет иметь следующий вид:

при z < Y₁ – заказывать количество товара Y₁ – z,

при Y₁ £ z £ Y₂ – не заказывать,

при Y₂ < z < Y₃ – заказывать Y₃ – z,

при Y₃ £ z £ Y₄ – не заказывать и т.д.

Вообще, при Y_2n+1 £ z £ Y_2n+2 выгодно воздержаться от заказа, а при Y_2n< z < Y_2n+1 – заказать количество товара Y_2n+1 – z, n=0, 1, 2, …; Y₀=0. Критические числа Y_i(I=1,2,…) в общем случае могут зависеть от z.

Проведём достаточные условия, при совместном выполнении которых оптимальная стратегия имеет более простую форму, соответствующую единственному минимуму

N_T(0, z) не является относительным минимумом, и

т.е. заказ товаров уменьшает суммарные расходы;

уравнение имеет не более одного вещественного корня.

Условие (3) может быть выполнено, например, в случае, когда является монотонной функцией Y. Так, если h_T(Y – x) – v(Y – z) иp_T(x – Y) – выпуклые вниз возрастающие функции, а c(Y – z)=c × (Y – z), где с – стоимость единицы товара, то первый интеграл в (6.2.2) будет монотонно возрастать, а второй – монотонно убывать по абсолютной величине, что обеспечит монотонное возрастание Если при этом справедливы также условия (1) и (2), то решение существует, причём оно единственно, а оптимальная стратегия пополнения объёма запасов имеет следующий вид:

При этом, так как не зависит от z, величина также не зависит от z.

Заметим, что содержанием условия (1) является экономическая целесообразность создания запаса, а условие (2) – неэффективность чрезмерных запасов. Оба этих условия выполняются для большинства практических ситуаций.

Следует отметить, что единственность решения является достаточным, но не необходимым условием существования простейшей стратегии с одним критическим уровнем. Так, если крайний справа относительный минимум N_T(Y) в точке является и абсолютным минимумом этой функции, то независимо от числа корней оптимальная стратегия будет иметь следующий вид:

при z <- заказывать количество товара

при - не заказывать.

Предположим теперь, что стоимость пополнения запаса равна при Y – z > 0 и нулю – при Y – z £ 0. Здесь g – накладные расходы на доставку товара.

В этом случае заказ целесообразно производить лишь при

Если имеет единственное решение, то, как видно из рисунка ниже, иллюстрирующего определение нижнего критического уровня , оптимальная стратегия будет иметь следующий вид:

при z < – заказывать количество товара

при z ³ – не заказывать.

L_T

Стратегия такого типа называется стратегией двух уровней . Здесь и - нижний и верхний критические уровни запасов соответственно.

Расчёт нормативных критических уровней запасов при вероятностном спросе и мгновенной поставке

В предыдущем разделе данного параграфа приведены некоторые достаточно общие результаты относительно вида оптимально стратегии управления запасами. С их помощью легко показать, что при линейных функциях затрат на хранение, транспорт и штрафы и суммарных затратах, подсчитываемых согласно формуле 6.2.1 или её аналогу для дискретного спроса, оптимальная стратегия описывается одним или двумя критическими уровнями.

Таким образом, в рамках данной модели остаётся рассмотреть только способ расчёта этих уровней.

При подсчёте затрат по средним значениям запаса и дефицита за период, а также при независимости штрафа от объёма дефицита необходим дополнительный анализ структуры системы управления запасами, поскольку эти случаи в общем виде – при нелинейных функциях c(u), h_T(u) и p_T(u) – не исследованы. Ниже приводятся расчётные формулы для определения критических чисел оптимальных стратегий простейшего типа при нелинейных функциях и для различных вариантов задачи об управлении запасами с пренебрежимо малой задержкой между заказом на выполнение запаса и поставкой. Попутно устанавливаются условия существования и единственности решения для функций затрат, отличных от 6.2.1.

В модели управления запасками с мгновенной поставкой и функцией затрат типа 6.2.1 с пропорциональными составляющими расходы за период равны

Из условия

Получаем уравнение

6.2.3

для определения оптимального значения , где F(u) – интегральная функция распределения спроса за время Т, а отношение обычно называют критическим числом.

Для нахождения нижнего критического уровня запасов необходимо решить уравнение.

6.2.4

Здесь - найденный с помощью соотношения 6.2.3 верхний критический уровень запасов. Расчёт нижнего критического уровня в общем виде даже для известного распределения спроса представляет собой непростую задачу.

Однако если параметры распределения известны, то при нахождении можно избежать многих трудностей. Найдём верхний уровень для различных распределений спроса.

При равномерном распределении спроса

соотношение 6.2.3 примет вид . Следовательно, оптимальный верхний уровень пополнения запасов для равномерного распределения спроса находится из соотношения

Для усечённого нормального распределения спроса (x ³0) с параметрами a и s уравнение 6.2.3 превращается в

где - функция Лапласа. Таким образом, верхний уровень находится из уравнения

В случае показательного распределения спроса и для =имеем

Пример 6.2. Нахождение оптимального нижнего и верхнего критических уровней запаса при равномерно распределённом спросе

Рассчитать критические уровни и запасов в статической модели управления запасами с равномерным распределением спроса

и мгновенной поставкой. Известно, что с=0,1, h_T=5, p_T=10, g=4.

Рассчитаем критическое число

где

С учётом исходных данных имеем

Далее вычислим И наконец, найдём нижний критический уровень как меньший корень уравнения

или, что одно и то же,

откуда .

В соответствии со стратегией двух уровней и :

при z<1,67 необходимо пополнить запас до уровня 3,3 единицы,

при z ³ 1,67 ничего заказывать не надо.

В случае дискретности распределения спроса

Соответственно

Вычислим приращение расходов при увеличении запаса на единицу:

Покажем существование и единственность оптимального значения , для чего исследуем знак приращения . При =0 справедливо соотношение , при выполняется условие .

Монотонность функции обеспечивает однократность смены знака прираще­ния. Очевидно, выбор должен производиться из условия одновременного выполнения неравенств £0 и³0, которые могут быть сведены к системе неравенств для определения верхнего уровня *, имеющий вид

Нижний критический уровень найдём с помощью соотношения

6.2.5

аналогично 6.2.4.

Таким образом, в качестве выбирается такое наименьшее целое значение z, при котором неравенство 6.2.5 выполняется последний раз.

Пример 6.3. Нахождение нижнего и верхнего критических уровней при дискретно распределённом спросе

Агропромышленное объединение планирует заказать несколько грузовых автомобилей на автопредприятии для уборки сельскохозяйственной продукции. Издержки, связанные с обслуживанием одного автомобиля в течение уборочного периода, оцениваются в 3 тыс. руб. Потери объединения в случае нехватки одного автомобиля составляют 9 тыс. руб. Накладные расходы при доставке автомашин на место и обратно (по железной дороге) равны 2 тыс. руб. Необходимое количество автомобилей – случайная величина (зависящая от урожая, погодных условий и др.) с рядом распределения

Найти оптимальную стратегию пополнения парка автомобилей, т.е. значения и при отсутствии задержки в поставке..

Параметры задачи: h_T=3 тыс. руб., p_T=9 тыс. руб., g=2 тыс. руб., с=0. Определим критическое число . Теперь найдём верхний уровень *. Функция распределения впервые превысит число R при Х=6, следовательно .

Для определения найдём наименьшее значение z, для которого последний раз выполнено неравенство

(так как с=0). Полагаем, что все денежные суммы кратны тысяче.

Вычислим L_T(6) и L_T(5):

Так как 4£2+3, то £5.

Вычислим L_T(4):

.

Неравенство 9£2+3 не выполняется, значит, .

Итак, , . Отсюда следует, что при z<5 парк автомобилей необходимо пополнить до 6; при z ³ 5 пополнять его не нужно.

Расчёт планового объёма поставок при вероятностном спросе с фиксированной задержкой поставки

Рассмотренные выше модели вероятностного спроса управлялись либо стратегией «двух уровней» , либо стратегией , когда заказ на пополнение запаса выдаётся через равные промежутки времени Т, а объём заказа – величина непостоянная, определяемая верхним уровнем . Переход к минимизации затрат в единицу времени по обоим параметрам стратегии обычно затруднён вследствие сложного характера зависимости распределения спроса от времени. В связи с этим при отсутствии регламентированной периодичности поставок удобно перейти к стратегии с нижним критическим уровнем и фиксированным объёмом поставок.

Предположим, что недостачи товара в модели случаются редко, средняя величина дефицита мала сравнительно с q, а время его существования значительно меньше среднего интервала между поставками (при достаточно высокой цене штрафа все вышеперечисленные условия должны выполняться). При этих предположениях средний уровень запаса составит а затраты на его содержание − в единицу времени. В каждом периоде, кроме того будут, выплачиваться стоимость заказа g и штраф, среднее значение которого составит

где f(x) – плотность распределения спроса за время между выдачей заказа(момент достижения ) и получением восполнения. Количество периодов в единицу времени, очевидно, равно . Следовательно, суммарные ожидаемые затраты в единицу времени могут быть подсчитаны следующим образом:

Приравнивая к нулю и , убеждаемся, что оптимальные параметры стратегии должна удовлетворять соотношениям

6.2.6

и

6.2.7

Указанная система уравнений легко решается итерационным способом: задавшись начальным значением q₀, подставляют его в 6.2.7 и получают . Подстановка последнего в 6.2.6 даёт q₁ и т.д. Повторяется до тех пор, пока значения параметров в последовательных итерациях не окажутся достаточно близки друг к другу. Последняя пара значений и принимается за оптимальный набор параметров. Начальное значение q₀ целесообразно определять по формуле 6.1.2, т.е. следует положить .

Начальное приближение по своей величине обычно оказывается достаточно близким по своей величине к результату. Однако более строгим критерием качества приближённого решения является сравнение затрат. Оценим относительно увеличения затрат от неточного определения y* и q* при экспоненциально распределённом спросе за время задержки. При средней интенсивности спроса m и задержке t плотность распределения спроса за время t равна , а математическое ожидание дефицита −

.

Отметим, что . Следовательно, в нашем случае при оптимальном выборе q

.

Подставляя этот результат 6.1.3, для нахождения оптимального q имеем уравнение

6.2.8

откуда

6.2.9

Соответственно

Перепишем 6.2.9 в виде

где коэффициент перед скобкой равен приближённому значению q₀, определяемому согласно 6.1.2, а - отношение среднего спроса за время задержки к q₀. При малом b, что следует считать типичным для практики, можно записать

. 6.2.10

Найдём разность затрат в единицу времени с помощью формулы 6.2.8:

Таким образом,

.

Используя приближённые и допустимые при малых b разложения функций в ряд

и

,

получаем

Так как , то и

т.е. увеличение затрат за счёт приближённого определения q приметно пропорционально времени задержки поставки.

Пример 6.4. Оценка величины погрешности функции затрат при фиксированной задержке поставки

Положим p=100, h=6, g=20, m=5 и t=0,3. При этом приближённые значения параметров стратегии будут равны q₀=5,78, =3,99; соответственно уточнённые значения (при q, определяемом из 6.2.9.), суть q₁=7,45 и =3,61. Математическое ожидание затрат для стратегии составляет 67,7, а для - 66,3 единицы, т.е. разница DL»1,3 единицы, или 1,9%.

Проверим качество приближённой оценки величины DL, рассчитанной по формуле 6.2.10. В нашем случае , откуда DL»2,3. Таким образом, порядок погрешности формула 6.2.10 указывает верно. При других способах расчёта штрафа форма записи системы 6.2.6 – 6.2.7 меняется очевидным образом. Так, при расчёте штрафа, связанного с недостачей, носящей стохастический характер, оптимальный набор определяется по формулам

а при учёте величины и времени существования дефицита – с помощью соотношений

Эти системы также решаются методом итераций.

Приближённые методы планирования поставок при их случайной задержке

Небольшой разброс фактических моментов прибытия поставок относительно предусмотренных позволяет планировать организацию снабжения методами, рассмотренными выше. В связи с неопределённостью момента, прибытия поставки применение периодических стратегий и (T, q) в данном случае оказывается невыгодным, и оптимизация проводится в классе стратегий с нижним критическим уровнем – обычно (, q).

В качестве примера рассмотрим пауссоновский спрос интенсивности и экспоненциально распределённое время задержки поставок со средним, равным 1/l.

Найдём распределение спроса за время задержки. Вероятность того, что спрос будет равен х, очевидно составит

.

Последний интеграл может быть представлен в виде

и выражен через гамма-функцию Г(x+1)=(для целых х). Таким образом,

т.е. спросы за время задержки имеет отрицательное биноминальное распределение. Математическое ожидание недостач при страховом запасе составит

Первая из этих сумм

представляет собой арифметико-геометрическую прогрессию. Сумма членов прогрессии вида записывается в виде

В интересующем нас случае d=0 и r=1, так что

С помощью этой формулы можно получить более общее отношение:

Его предельным случаем при n₂®¥ и |a| < 1 является

Таким образом,

Вторая сумма – обычная геометрическая прогрессия:

Следовательно, математическое ожидание недостач

Для облегчения процесса минимизации затрат предположим, что q и - любые действительные числа. Тогда мы сможем найти оптимальные q и из системы уравнений (6.2.6-6.2.7), в нашем случае принимающей вид

и из четырёх ближайших точек с целочисленными координатами выбрать дающую наилучший результат. Сравнение должно проводиться по затратам в единицу времени

6.2.11

Преобразуем систему 6.1.2. Подставив второе уравнение в первое и возведя в квадрат обе части равенства, имеем

или

Таким образом, оптимальный набор (,q) даётся условиями

6.2.12

В качестве приближённого решения можно использовать результат расчёта q по средней интенсивности спроса с последующим вычислением согласно уравнению 6.1.2. В нашем случае соответственно формулы примут вид

6.2.13

Пример 6.5 определение прироста затрат, связанного с отходом от строгой оптимальности

Положим, m = 2, l = 0,5, h = 2, g = 25, p = 70. при этих значениях параметров расчёт по формулам 6.2.12 даёт q = 12,9, = 7,08. Суммарные затраты в единицу времени составляют 40,03.

Приближённый расчёт в соответствии 6.2.13 даёт q = 7,06 и = 9,8; при этом сумма затрат достигает 42,9. Таким образом разница в затратах, подсчитываемых согласно 6.2.11 для обоих вариантов вычислений (, q), сравнительно невелика.

Динамическая модель управления запасами

Рассмотрим предприятие, которое изготовляет партиями некото­рые изделия. Оно состоит из производственных цехов и склада для хранения готовой продукции. Предположим, что предприятие полу­чило заказы на продукцию на п месяцев (этапов) вперед. Эти заказы необходимо полностью и своевременно выполнить (дефицит не до­пускается). Для разных этапов спрос неодинаков, кроме того на эко­номические показатели производства влияют размеры изготовляемых партий продукции. Поэтому предприятию иногда бывает выгодно производить в течение месяца продукцию в объеме, превышающем спрос в пределах этого этапа, и хранить запасы «лишней» продук­ции, используя их для удовлетворения последующего спроса. Продол­жительность изготовления партии изделий будем считать прене­брежимо малой (однако это требование может быть изменено в соот­ветствии с особенностями технологического процесса) Цель предприятия — выработать такую программу производства, которая обеспечила бы минимальные затраты на изготовление и хранение продукции.

Введём обозначения:

x_t – число изделий, изготовленных в t-м месяце (этапе);

y_t – уровень запасов на конец t-го месяца;

d_t – спрос на изделие t-м месяце;

f₁(x₁, y₁) – затраты на производство и хранение изделий t-м месяце.

Соотношение материального баланса примет вид

т.е. уровень запасов на конец t-го этапа производства равен сумме уровня запасов на начало t-го этапа и объёма производства на t-м этапе за вычетом спроса на t-м этапе.

Данное балансовое соотношение можно записать и в другом виде:

Наша задача состоит в том, чтобы составить такой план производства или, что тоже самое, найти такой план хранения запасов который обеспечил бы минимальные суммарные затраты предприятия

за весь плановый период.

Введём ограничения на переменные x _t, y _t. Будем считать объёмы производства и уровни хранения на каждом этапе неотрицательными целочисленными величинами. Кроме того, предположим, что уровни запасов к началу первого этапа y ₀ и к концу последнего y _n заранее известны.

Решим сформулированную задачу методом динамического программирования. В качестве параметра состояния x примем уровень запасов на конец k-го этапа

6.3.1

Функцию состояния F_k(x) определим как минимальные затраты за первые k месяцев, т.е.

6.3.2

Здесь абсолютный минимум берётся по всем значениям x ₁, …, x _k, удовлетворяющим балансовым уравнениям:

6.3.3

При k=1 соотношение 6.3.3 примет вид

или

6.3.4

Тогда с учётом 6.3.1 и 6.3.4 функция состояния

6.3.5

причём если не введено никаких ограничений на объём складских помещений и производственную мощность предприятия, то (x = y ₁)

6.3.6

Это связано с тем обстоятельством, что если иметь на конец 1-го этапа запас изделий в количестве d ₂ + d ₃ + … + d _n + y _n , то ничего не изготовляя в течение всего планового периода, а только удовлетворяя спрос, можно выйти на уровень запасов на начало 1-го этапа равен y _n в конце n-го месяца. В то же время если уровень запасов на начало 1-го этапа равен y ₀, то, изготовив в 1-м месяце изделий в количестве d ₁ + d ₂ + … + d _n + y _n – y ₀ и не производя ничего на последующих этапах, получим тот же запас y _n в конце планового периода. Если же на первом этапе предприятие может вместить готовой продукции не более М ₁ изделий, а мощности предприятия не позволяют произвести более N ₁ изделий, то

6.3.7

Получим рекуррентное соотношение динамического программирования в модели управления запасами при любом k = 2, …, n.

Запишем функцию состояния 6.3.2 в виде

Здесь, как уже было сказано выше, все переменные связаны балансовыми уравнениями

В связи с тем, что величина запаса y _k-1 к концу (k-1)-го планового этапа с учётом 6.3.3 равна имеем следующее рекуррентное соотношение динамической модели управления запасами:

6.3.8

Если внешних ограничений на уровне хранения и объёмы производства не существует, то по аналогии с 6.3.6 получаем внутренние ограничения модели

6.3.9

Если складские ёмкости и производственные мощности предприятия ограничены количеством изделий M _k и N _k соответственно, то аналогично соотношениям 6.3.7 имеем

6.3.10

На самом деле ограничения 6.3.9 и 6.3.10 имеют более сложную структуру. Однако для решения практических задач этого вполне достаточно. Напомним о том, что переменные x _k и y _k целочисленны и неотрицательны.

Рассмотрим теперь функцию затрат f ₁(x _t, y _t). Введём следующие обозначения:

g _t – затраты на производство и доставку заказа на t-м этапе;

c _t(x _t) – затраты на производство x _t единиц продукции на t-м этапе;

h _t(y _t) – затраты на хранение y _t единиц продукции в течение t-го планового этапа.

Для определённости будем считать, что производственные затраты линейны, т.е. c _t (x _t) = c _t x _t , и что затраты на хранение пропорциональны объёму хранимой продукции в течение месяца. Далее, уровень (объём) хранения в течение этого месяца определяется уровнем хранения на конец этапа. Иными словами, поскольку время изготовления партий изделий пренебрежимо мало, а производить и отправлять заказчикам продукцию предприятию выгодно в начале каждого месяца, то уровень хранимого имущества в течение t-го года определяется соотношением баланса y _t = y _t-1 + x _t – d _t . В итоге получаем

Функция затрат с учётом введения обозначений примет вид

6.3.11

Применим теперь метод динамического программирования к решению задачи управления запасами.

Пример 6.6. Определение оптимальной программы производства

Рассмотрим плановый переход работы предприятия, состоящий из трёх месяцев: января, февраля, марта. Исходные данные сведены в табл. 6.1.

Таблица 6.1

Функция затрат определена формулой 6.3.11. Кроме того, будем считать, что предприятие не может производить более четырёх изделий, а хранить – более трёх, т.е. M _k = 3, N _k = 4, а уровень запасов y ₀ = y ₃ = 0.

Необходимо составить оптимальную программу выпуска продукции , которая минимизирует суммарные издержки предприятия.

Рассмотрим январский этап (k=1). Поскольку плановый период состоит из одного месяца, у нас практически нет возможности влиять на объёмы производства изделий. Поэтому все допустимые программы выпуска будут оптимальны, поскольку они единственны.

Функция состояния в соответствии с (6.3.5) примет вид