Вычисление площадей плоских фигур. Основные формулы

Если фигура на плоскости x O y ограничена прямыми x = a, y = b (a < b) и графиками функций y = j (x), y = y (x), причём, j (x)≤ y (x) (a ≤ x ≤ b), то её площадь вычисляется по формуле

S=.

В полярных координатах площадь сектора, ограниченного дугой кривой r = r (j) и лучами j = a и j = b (a ≤ b), вычисляется по формуле

S=.

Если граница фигуры задана параметрическими уравнениями

x =(t), y =(t), то площадь фигуры вычисляется по одной из формул:

S =, S =, S =где a и b - значения параметра t, соответствующие началу и концу обхода контура в положительном направлении, при котором фигура остаётся слева.

23. Рассмотрим примеры.

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями (5.1-5.6)

5.1. y =, y =.

5.2. y =tg x, y =cos x, x =0.

5.3. y =2 x ², y =.

5.4. y =ln(x +6), y =3ln x, y =0.

5.5. x = y ², x = y ²+1,

5.6. y =2 ^{x -3}+1, y =2^{3- x} +1, y =.

Решение.

5.1. Найдём точки пересечения графиков функций:

=, x ²+3 x -4=0, x ₁=-4, x ₂=1.

Вычисляем площадь

S ====.

5.2. Найдём точку пересечения графиков функций

tg x =cos x, 3sin x =2cos² x.

Сделаем замену неизвестной sin x = z. Тогда 2-2 z ²=3 z, 2 z ²+3 z -2=0. Решая уравнение, находим, z ₁=-2, z ₂=. Решение z =-2 постороннее. Решаем далее,sin x =, x =.

Находим площадь

S ===.

5.3. Ищем точку пересечения графиков

функций

2 x ²=, x ₁=0, x ₂=6.

При 0≤ x ≤6 имеем ≤2 x ². Поэтому

S ===36.

5.4. Ищем точку пересечения графиков функций

ln(x +6)=3ln x = ln x ³, x +6= x ³.

Ясно, что x =2. Находим площадь фигуры.

S =+.

Интегралы вычисляем с помощью формулы интегрирования по частям. Для первого интеграла полагаем u = ln(x +6), du =, v = x; для второго u = ln(x +6)-3ln x, du =, v = x.

Получаем

S =-+-=ln7-

-+2ln8-6ln2-ln7-=-1+6 ln7-6 ln6+-2-

-6ln8+1+6ln7+3=1+12 ln7-6 ln48=+1.

5.5. В этой задаче мы рассмотрим в качестве функции x, а y будет аргументом. Ищем точки пересечения графиков функций y ²= y ²+1. Находим y₁=-2, y ₂=2. Вычисляем площадь

S ====

2(2-)=.

При вычислении интеграла по отрезку [-2,2] мы учли чётность функции x =.

5.6. Здесь, как и в предыдущей задаче, удобнее считать y аргументом, а x - функцией. Тогда при вычислении площади нам потребуется только один интеграл, в то время как при вычислении площади фигуры, ограниченной графиками y ₁=2 ^{x -3}+1, y ₂=2^{3- x} +1, y ₃=, понадобится два интеграла, что хорошо видно из рисунка.

Найдём выражение x через y. Получаем, x ₁=, x ₂=, ≤ y ≤2, так как точкой пересечения графиков функций x ₁=и x ₂=будет точка (3,2).

Вычисляем площадь фигуры

S ==.

Вычислим интеграл, применяя формулу интегрирования по частям, полагая u =, du =, v = y -1. Тогда

S =-2[-]= -2[0--]=-2[-]=

-1=.

5.7. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой y = - x ²-2 x +3, касательной к ней в точке М (2,-5) и осью ординат.

Решение. Найдём уравнение касательной y ¢=-2 x -2, y ¢(2)=-6. Тогда y +5=-6(x -2) - уравнение касательной, проходящей через точку М (2,-5). Перепишем уравнение в виде y = -6 x +7.

Вычислим площадь фигуры

S =====0-(-)=.

Вычислить площади криволинейных трапеций, образованных графиками функций

(5.8-5.9)

5.8. y =, x Î[0,1).

5.9. y =4 e ^{- x}, x Î[0,¥).

Решение.

5.8. При x Î[0,1) ≥0 и, следовательно

S =====

=+=2.

Отметим, что в этом примере площадь вычислена с помощью несобственного интеграла.

5.9. Имеем

S =.

Вычислим интеграл с помощью формулы интегрирования по частям, применённой несколько раз. Воспользуемся обобщённой формулой интегрирования по частям (см. п. главы I). Положим u = x ⁴. Тогда u ¢=4 x ³, u ¢¢=12 x ², u ¢¢¢=24 x, =24. Далее v = e ^{- x} , v ₁==

= - e ^{- x} , v ₂== e ^{- x} , v ₃= - e ^{- x} , v ₄= e ^{- x} .

Получим

S ==---+.

Поскольку , m =1,2,… (это доказывается последовательным применением правила Лопиталя), то мы получаем

S ===24.

24. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми, заданными в полярных координатах (5.10-5.14).

5.10. r = a cos3 j (a =2).

5.11. r = 2- cos j, r = cos j.

5.12. r =, r = (внутри окружности).

5.13. r =2 j, j = 0 (0≤ j ≤2 π).

5.14. r ²= 4cos2 j, r ²= 4sin2 j (пересечение областей, ограниченных этими кривыми).

Решение.

5.10. Так как функция r = a cos3 j имеет период T =, то при изменении j от 0 до 2 π радиус-вектор описывает три равных лепестка кривой. Допустимыми для j являются те значения при которых cos3 j ≥0, откуда

≤ j ≤, k =0, ±1, ±2,….

При k = 0 имеем первый лепесток, соответствующий -≤ j ≤. При k = 1 получаем пределы для j, соответствующие второму лепестку, ≤ j ≤. Если k = 2, то третий лепесток линии соответствует изменениям j: ≤ j ≤. В этих трёх промежутках заключена кривая, соответствующая изменению j от 0 до 2 π (полный оборот). Если брать k = 3, 4,…, то мы не получим новой линии, а будем каждый раз проходить одну и ту же линию.

Поскольку лепестки одинаковы, то достаточно найти площадь одного из них и затем утроить.

Имеем

S ==3 a ²===.

При вычислении интеграла мы учли чётность функции cos²3 j.

5.11. r = cos j - это уравнение окружности (x -)²+ y ²=в полярных координатах. Найдём площадь фигуры между линией r = 2- cos j и окружностью. Ясно, что площадь фигуры есть разность площадей, ограниченных двумя линиями:

S = S ₁- S ₂, где S ₁=, S ₂=.

Вычисляем эти интегралы.

S ₁===.

S ₂====.

Окончательно получаем S = =.

При вычислении S ₂ мы использовали чётность функции cos² j.

5.12. Найдём все значения j, при которых cos2 j ≥0. Имеем

≤ j ≤, k =0, ±1, ±2,….

При k = 0 получаем ≤ j ≤, при k = 1: ≤ j ≤. Далее при k = 2, 3, … мы будем получать один из этих двух лепестков. Итак, фигура ограничена двумя одинаковыми лепестками. Нас интересует площадь фигуры внутри окружности r =.

Найдём полярные координаты точек пересечения кривой r =с окружностью r =. Решая уравнение=, получаем j = , k = 0,±1, …

Выберем значения j из отрезка [- π, π ], такие что cos2 j ≥0. Ясно, что достаточно рассмотреть =, =, что соответствует первому лепестку. Вычислим соответствующую площадь и удвоим её, что даст нам искомую площадь. Имеем

S =+=+=+4(-)=+4-2.

При вычислении второго интеграла мы учли симметрию фигуры относительно полярной оси.

5.13. Линия r =2 j - спираль, раскручивающаяся из начала координат O. Нам требуется определить площадь, ограниченную одним витком спирали и полярной осью.

Вычисляем площадь.

S ===.

5.14. Линия r ²= 4cos2 j представляет из себя два одинаковых лепестка. Одному из

них соответствуют углы ≤ j ≤, другому ≤ j ≤. Линия r ²= 4sin2 j образует два равных лепестка, один вписан в угол ≤ j ≤, второй - в угол π ≤ j ≤. Найдём точки пересечения линий.

4sin2 j = 4cos2 j, =,=.

Луч j =делит часть нашей области в первом квадрате пополам, луч j =делает то же самое с частью области в третьем квадрате. Достаточно найти площадь части

0≤ r ≤, ≤ j ≤,

и умножить на четыре. Это и будет искомое решение. Вычисляем

S ===4(-)=4(1-)=2(2-).

Перейдя к полярным координатам, найти площадь области, ограниченной кривыми (5.15-5.16)

5.15. x ²+ y ²=6 x, x ²+ y ²=6 y, точка M (,) принадлежит области.

5.16. x ²+ y ²=9, x ²+ y ²=2 x, x + y =0, x - y =0 (x >0, x ²+ y ²≤9).

Решение.

5.15. Линии являются окружностями (x -3)²+ y ²=9 и x ²+(y -3)²=9. Пересечение кругов делится биссектрисой y = x первого квадранта на две равные части. Найдём площадь одной, затем удвоим.

В полярных координатах x = r cos j, y = r sin j, уравнение x ²+ y ²=6x окружности принимает вид r = 6cos j, уравнение второй окружности имеет вид r = 6sin j. Вычисляем площадь.

S ==18==(π -2).

5.16. Перейдём к полярным координатам x = r cos j, y = r sin j. Тогда граница области будет задаваться уравнениями r = 3, r = 2cos j, j = -, j = .

Наша область - фигура, симметричная относительно полярной оси (оси O x). Найдём площадь заштрихованной области и результат удвоим. Получим искомый ответ.

Полярные координаты точки пересечения окружностей находятся из уравнения 3 = 2cos j, cos j =, j =±. Вычисляем площадь.

S =2(+)= π + 6= π + π +3=+3×-3×=.

25. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной параметрически (5.17-5.18).

5.17. x = a cos t, y = b sin t.

5.18. x = 3 sin t, y = 3 sin2 t.

Решение.

5.17. Данная линия есть эллипс +=1. Используя формулу для вычисления площади, находим

S ==== π ab.

5.18. Выражая y через x, получаем

y =±2 x т.е. кривая симметрична относительно осей ОХ, ОУ.

При t Î[0,] x ≥0 и y =2 x ≥0, график в первом квадрате - четвертая часть всей кривой. При изменении t от 0 до π точка (x, y) описывает на плоскости x O y замкнутую кривую, симметричную относительно оси O x. При изменении t от π до 2 π x изменяется сначала от 0 до -3

(t изменяется от π до ), затем от -3 до 0 (≤ t ≤2 π). Ордината y = 2 x ≥0 - при t Î[ π, ] и y = 2 x ≤0 при t Î[ , π ], то есть, при изменении t от π до 2 π мы получаем снова замкнутую кривую, симметричную первой кривой относительно оси ординат.

Мы найдём площадь фигуры, соответствующей изменению t от 0 до , а затем умножим результат на четыре. Это и даст нам искомый ответ. Вычисляем

S ======24.

26. Вычисление длины кривой. Основные формулы.

Если плоская кривая задана как график функции y = f (x), a ≤ x ≤ b, и производная y¢ = f¢ (x) непрерывна, то длина дуги этой кривой выражается интегралом

l ==.

Если кривая задана параметрически x = x (t), y = y (t), a ≤ t ≤ b, и производные x¢ (t) и y¢ (t) непрерывны на отрезке [ a, b ], то длина дуги кривой выражается интегралом

l =.

Если кривая задана уравнением r = r (j), a ≤ j ≤ b, в полярных координатах и r¢ (j) непрерывна на отрезке [ a, b ], то длина l дуги кривой выражается интегралом

l =.

Если Г - пространственная кривая, заданная параметрически: x = x (t), y = y (t), z = z (t), a ≤ t ≤ b, производные x¢ (t), y¢ (t) и z¢ (t) непрерывны на отрезке [ a, b ], то длина Г выражается по формуле

l =.

Замечание. Пусть Г - некоторая кривая на плоскости x O y. Выражение

dl =,

где dx ²=(dx)², dy ²=(dy)², называется дифференциалом длины дуги. Используя это понятие, можно единообразно записать формулу для вычисления длины кривой

l ==,

где a и b (a ≤ b), обозначают границы изменения параметра, с помощью которого задаётся кривая. Пусть кривая Г есть график функции x = x (y), c≤ y ≤ d. Тогда dx = x¢ (y)dy и мы получаем

l ==.

Если кривая Г задана параметрически, то dx = x¢ (t)dt, dy = y¢ (t)dt и мы получаем

l ===.

Задание кривой с помощью полярных координат: r = r (j), a ≤ j ≤ b, есть частный случай параметрического задания: x = r (j)cos j, y = r (j)sin j. Параметром здесь является j. Вычисляя дифференциалы dx = (r ¢ cos j - r sin j) dj, dy = (r ¢sin j + r cos j) dj, убеждаемся, что

dl ==.

Для пространственной кривой Г дифференциалом длины дуги называется выражение

dl =.

Длину кривой Г можно выразить интегралом

l ==,

где a и b (a ≤ b) - концы отрезка [ a, b ] - промежутка изменения параметра, с помощью которого задаётся кривая.

27. Рассмотрим примеры.

Вычислить длину дуги кривой (5.19-5.24).

5.19. y = 1-ln cos x, 0≤ x ≤.

5.20. y = 2, 0≤ x ≤1.

5.21. x = , 0≤ y ≤4.

5.22. 3 y ² = x (x -1)² (длину петли).

5.23. y = 2(-),0≤ x ≤ ln4.

5.24. y =, 0≤ x ≤.

Решение.

5.19. Так как y ¢ == tg x, то

l ======= == ln(2+).

5.20. y’ =,

l =======.

Можно было рассмотреть нашу кривую как график функции ,. Тогда вычисление длины кривой свелось бы к нахождению интеграла

l =.

5.21. Вычисляем производную =и далее ==, откуда

l ====.

5.22. Из условия следует, что y =0 при x =0 и x =1. Линия симметрична относительно оси O x, так как y входит в уравнение в чётной степени. Вычислим длину половины петли, задаваемой уравнением y =, . (Вторая половина петли есть график функции y = -). Так как , =, то получаем

l ===.

5.23. Делаем предварительные вычисления.

=-=.

Вычисляем длину кривой l ====2.

5.24. Вычисляем производную:=тогда

==.

Вычисляем длину кривой

l ======.

Вычислить длину кривой, заданной в полярных координатах (5.25-5.28).

5.25. r =, -≤ j ≤.

5.26. r = a (1+cos j), 0 ≤ j ≤ 2 π (кардиоида).

5.27. r =th, 0 ≤ j ≤ 2.

5.28. r = acos⁴.

Решение.

5.25. Вычисляем длину кривой по формуле

l ======.

5.26. l =====

=-=-=4 a +4 a =8 a.

5.27.

l ===== =====1-th1.

5.28. Функция cosимеет период 8 π. Функции | cos|, cos², cos⁴и т.п. имеют период 4 π. Поскольку cos(-) = cos, то линия симметрична относительно полярной оси и при изменении j от 0 до 2 π полярный радиус опишет половину линии. Найдём длину половины кривой (на рисунке) и затем удвоим результат. Вычисляем

= a ²[+]=.

Отсюда следует

l ====8 a (1-)=.

Вычислить длину кривой, заданной параметрически (5.29-5.33).

5.29. x = 6 t ⁵, y = 5 t (1- t ⁸), 0≤ t ≤1.

5.30. x = ln(1+ t ²), y = 2arctg t -2 t +8, 0≤ t ≤1.

5.31. x = t -sh2 t, y = 2ch t, 0≤ t ≤1.

5.32. x = 2cos³ t, y = 2sin³ t.

5.33. x = t ², y = t - t ³ (длину петли).

Решение.

5.29. Вычисляем, используя соответствующую формулу

l ===5=5= ==16.

5.30. =+=. Поэтому

l ===2(-1).

5.31. =(1-ch2 t)²+4sh² t =|ch2 t -1=2sh² t |=4sh⁴ t +4sh² t =|1+sh² t =ch² t |=4 sh² t ch² t = =sh²2 t.

Поэтому

l ==== sh²1.

5.32. Уравнение линии (астроиды) в декартовых координатах имеет вид

или .

Отсюда следует, что линия симметрична относительно обеих осей координат. Вычислим четверть длины астроиды, что соответствует изменению параметра t от 0 до , и результат учетверим. Вычисляем

=36cos⁴ t sin² t +36 sin⁴ t cos² t =36 sin² t cos² t =9 sin²2 t.

Отсюда следует

l ===6+6=12.

5.33. Если выразить y через x, то мы получаем y = , откуда следует, что при x Î[0,] графики симметричных относительно оси O x функций y = и y = образуют замкнутый контур на плоскости x O y (петлю). График функции y = получается, когда t изменяется от -1 до 0, а при изменении t от 0 до 1 точка (x, y) движется по графику функции y = от точки O (0,0) до точки A(,0).

Вычисляем сначала =12 t ²+(1-3 t ²)²=(1+3 t ²)².

Поэтому

l ===4.

Вычислить длину дуги пространственной кривой (5.34-5.37)

5.34. x =3 t - t ³, y =3 t ², z =3 t + t ³, 0≤ t ≤1.

5.35. x = at, y = , z =, ≤ t ≤1.

5.36. x = e^t, y = e^-t, z = t, 0≤ t ≤2.

5.37. x = a (1+cos t), y = a (t -sin t), z =4 a sin, 0≤ t ≤2.

Решение.

5.34. Вычисляем длину кривой по формуле

l ======4.

5.35. ====.

Отсюда получаем

l ====.

5.36. Имеем = e ^{2 t} + e^{- 2 t} +2 =(e^t + e^-t)². Откуда получаем

l ====2 sh 2.

5.37. Сделаем предварительные вычисления.

= a ²[sin² t +(1-cos t)²+4]= a ²[2(1-cos t)+4]=4 a ².

Мы использовали здесь тригонометрическую формулу 1- cos t =. Вычисляем длину кривой l ==4 a.

28. Вычисление объёмов и площадей поверхностей. Основные формулы.

Пусть S (x) - площадь сечения тела V плоскостью, перпендикулярной к оси O x в точке с абсциссой x, a и b - левая и правая границы изменения x. Тогда объём тела V выражается интегралом

V =.

Если тело V образовано вращением вокруг оси O x криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f (x)≥0, a ≤ x ≤ b, осью абсцисс и прямыми x = a, x = b, то объём тела V вычисляется по формуле

V ==.

Если тело образовано вращением вокруг оси O y криволинейной трапеции, образованной под графиком функции x = g (y), c ≤ y ≤ d (g (y)≥0), то объём тела выражается интегралом

V ==.

Если вокруг оси O y вращается криволинейная трапеция, ограниченная графиком функции y = f (x)≥0, a ≤ x ≤ b, осью абсцисс и прямыми x = a, x = b, то объём получившегося тела выражается интегралом

V ==.

Если кривая задана параметрически или в полярных координатах, то следует сделать соответствующую замену переменных в указанных выше формулах.

Площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси O x дуги Г кривой y = f (x), a ≤ x ≤ b, где f (x) имеет на отрезке [ a, b ] непрерывную производную , выражается интегралом

S ==.

Поскольку - дифференциал длины дуги, то формулу можно записать в виде

S =.

Пусть кривая задана параметрически, x = x (t), y = y (t), a ≤ t ≤ b, где функции x (t) и y (t) имеют на отрезке [ a, b ] непрерывные производные x ¢(t) и y ¢(t). Площадь S поверхности, образованной при вращении данной кривой вокруг оси O x равна

S ==.

Задание кривой с помощью полярных координат r = r (j), a ≤ j ≤ b, есть частный случай параметрического задания, так как в этом случае

x = r (j) cos j, y = r (j) sin j.

29. Рассмотрим примеры.

5.38. На всех хордах круга радиуса R, параллельных одному направлению, построены симметричные параболические сегменты постоянной высоты h. Плоскости сегментов перпендикулярны к плоскости круга. Найти объём образованного таким образом тела.

Решение. Найдём в начале площадь параболического сегмента с основанием a и высотой h. (см. рис. б). Расположим оси координат так, что основание сегмента будет находиться на оси абсцисс и начало координат делит это основание пополам.

Уравнение параболы имеет вид y = a (x -)(x +)= a (x ²-). Так как y (0)= h, то a = -. Тогда уравнение параболы принимает вид y = - (x ²-). Ищем площадь сегмента

S ==== ah.

Расположим оси координат так, как показано на рис. а. Тогда длина половины хорды, пересекающей ось абсцисс в точке x есть .

Следовательно, площадь параболического сегмента, соответствующего значению x, равна S (x)=. Согласно формуле для объёма, получаем

V =======.

5.39. Найти объём тела, ограниченного поверхностями z = 4- y ², x =0, x = a, y =0, z =0.

Решение. Найдём площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси O x (0≤ x ≤ a). Нам необходимо знать площадь половины параболического сегмента с a =2, h =4. Как мы знаем из решения предыдущей задачи, эта площадь равна

S (x)==, 0≤ x ≤ a.

Отсюда получаем

V ===.

Найти объём тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями (5.40-5.51)

5.40. y = sin x, x = 0, 0≤ x ≤ π, вокруг оси а) O x, б) O y.

5.41. y = 2 ^x, y = , x =0, y =0, вокруг оси O x.

5.42. y = x (3- x), y = x, вокруг оси а) O x, б) O y.

5.43. y = cos x, y =1, 0 ≤ x ≤ 2 π, вокруг оси O y.

5.44. y = e^x +6, y = e ^2x, x =0, вокруг оси а) O x, б) O y.

5.45. y =, y =0, x ≥1, вокруг оси O x.

5.46. y =, y =0, x ≥0, вокруг оси O x.

5.47. y =, y =0, вокруг оси O y.

5.48.