Интегрирование по частям

Пусть функции непрерывно дифференцируемы на некотором промежутке.

Интегрируя тождество получим:

Откуда следует, что

(1)

Формулу (1) обычно записывают в виде:

(1*)

Эта формула называется формулой интегрирования по частям.

Правильнее было бы назвать ее формулой частичного интегрирования. При известных и и v она сводит нахождение интеграла от udv после частичного интегрирования к нахождению интеграла от vdu. Иногда удается функции и и v выбрать так, что новый интеграл либо сам является табличным, либо сводится к табличным интегралам уже известными методами. Рассмотрим ряд примеров.

1. . Полагаем Тогда и, значит, по формуле (1)

Интеграл в правой части равенства табличный:

Окончательно получаем:

Примечание 1. При отыскании v по известному dv достаточно найти одну какую-либо первообразную. Нетрудно видеть, что прибавление к ней произвольной постоянной не меняет результата интегрирования, усложняя решение.

Примечание 2. Если в примере 1 положить , то

и, значит, по формуле (1)

Этот выбор а и dv неудачен, так как новый интеграл «сложнее» данного. В общем случае нельзя указать рецепта для выбора в подинтегральном выражении и и dv. Рекомендуется мысленно «прикидывать», что дадут те или иные обозначения.

2. . Здесь удобнее положить .

Тогда и, значит,

Иногда для получения окончательного результата приходится несколько раз последовательно применять формулу интегрирования по частям.

3. Пусть , тогда т. е.

Для нахождения интеграла положим т.е.

Окончательно получаем:

Метод интегрирования по частям имеет более ограниченную область применения, чем метод замены переменной. Существуют, однако, классы функций, интегрируемых по частям. К ним относятся, например, функции вида , где α — любое действительное число, a P (х) — любой многочлен.

Интегралы от этих функций берутся методом интегрирования по частям, если положить

Р (х) = и, а оставшиеся «множители» взять за dv. После однократного интегрирования по частям получатся интегралы того же вида, но степень многочлена Р (х) понизится на единицу. После n-кратного применения формулы (1) останутся интегралы

сводящиеся к табличным.

4. Пусть тогда т.е.

Полагаем тогда

Окончательно получим:

Интегралы вида , где α – любое действительное число (α не равно нулю), а Р(х) – любой многочлен, также берутся методом интегрирования по частям, если положить

Интегрирование элементарных дробей. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование тригонометрических выражений. Интегрирование иррациональных функций.

Дата добавления: 2014-01-20; Просмотров: 731; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!