Тройной интеграл в сферических координатах

Рис. 6.

В сферических координатах положение точки в пространстве определяется числами , где

– сферический радиус, расстояние от начала координат до точки ;

- полярный угол, угол поворота оси до вектора , а точка – проекция точки в плоскость ;

- азимутальный угол, угол поворота оси до вектора (рис. 6).

Координатными поверхностями в сферической системе координат являются:

– сферы радиуса с центром в начале координат;

– полуплоскости, проходящие через ось и составляющие с осью угол ;

– верхние или нижние полости конических поверхностей, образующие которых составляют с осью угол .

Из рисунка 6 ясно, что декартовы координаты выражаются через сферические координаты по формулам:

.

Уравнение сферы в сферических координатах имеет вид: .

Элемент объема в сферических координатах равен , а для якобиана преобразования справедливо:

Тройной интеграл при переходе от декартовых координат к сферическим координатам имеет вид:

.

Задача

Вычислить , где область ограничена поверхностями:

.

Дата добавления: 2014-01-20; Просмотров: 531; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!