Механический и геометрический смысл тройного интеграла

Теорема существования

Если функция непрерывна или кусочно – непрерывна на области , то она на этой области интегрируема.

Пусть непрерывная функция на области и представляет собой распределенную по пространственной области плотность,

Если область разбита произвольным образом на элементарных областей и если – объемы тел, занимающих эти области, то при достаточно малых элементарные тела можно считать однородными с плотностью , равной плотности в произвольно выбранной точке . Тогда произведение приближенно равно массе элементарного тела , а интегральная сумма приближенно равна массе тела с переменной плотностью , занимающего область .

Этот результат тем точнее, чем больше – число областей, на которые разбита область , и чем меньше диаметры областей . Очевидно, что предел интегральной суммы при и при равен массе пространственного тела, занимающего область .

,

– масса тела , или

.

Поскольку ,масса тела равна его объему, то тройной интеграл по области с подынтегральной функцией, равной 1, представляет собой объем тела, занимающего эту область, то есть .

Дата добавления: 2014-01-20; Просмотров: 827; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!