Тема 3. “ Плоское движение твердого тела”

Теорема Эйлера отражает то требование, которое налагает нараспределение скоростей точек тела неизменность расстояний между ними. Если разложить скорости точек А и М на составляющие, коллинеарные отрезку и ортогональные ему, то составляющие скоростей двух точек и(рис. 29), направленные вдоль отрезка , должны быть направлены в одну сторону и иметь одинаковые величины. Если бы величина вектора была больше величины вектора , то точка А, сближалась бы с точкой М; если же величина была бы больше , то точки А и М удалялись бы друг от друга. Разумеется, эти утверждения верны для случая, когдаи направлены в ту же сторону, что и вектор , если же обе они направлены и сторону, противоположную отрезку АМ, т. е. в сторону отрезка , то в первом случае точки будут удаляться друг от друга, во втором будут сближаться. Все эти случаи не могут иметь место вследствие неизменности расстояний между точками А и М. На ортогональные отрезку АМ составляющие скоростей и неизменность расстояний между точками никаких ограничений ни на их величину, ни на их направление не налагает, так что они могут быть направлены либо в одну и ту же сторону, либо в противоположные стороны и могут иметь произвольные величины.

Из теоремы Эйлера вытекают следствия:

1) если скорости двух точек твердого тела параллельны и перпендикулярны отрезку, их соединяющему, то они равны;

2) если проекция скорости какой–либо точки отрезка на отрезок
равна нулю, то скорости других точек этого отрезка либо равны
нулю, либо перпендикулярны отрезку.

Справедлива также теорема, в некотором смысле обратная тео­реме Эйлера.

Теорема. Если проекции скоростей двух точек на направленный отрезок, их соединяющий, равны на протяжении некоторого промежутка времени, то расстояние между этими точками остается постоянным.

§ 3. Графическое распределение скоростей точек тела. МЦС и способы его нахождения.

 

Рассмотрим произвольную прямую сечения, которая перпендикулярна скорости точки А.

Рис. 30

Векторы и для точек этой прямой параллельны между собой и для верхнего от точки А луча направлены в противоположные стороны, а для нижнего луча – в одну сторону. На верхнем луче возможна такая точка Р, для которой и равны по величине противоположны по направлению. Значит, их сумма равна нулю: . Точка Р расположена на верхнем луче АР, который можно получить поворотом скорости точки А в сторону вращения на 90°. Расстояние АР находится из равенства: .

Определение. Точка Р, скорость которой в данный момент времени равна нулю, называется мгновенным центром скоростей (МЦС).

Если МЦС существует, то эту точку целесообразно выбрать в качестве полюса. Тогда формула Эйлера упрощается:, но возникает вопрос: как найти мгновенный центр скоростей?

 

 

Методы нахождения МЦС.

 

Рис. 31	1. Если известны и , то для нахождения МЦС необходимо повернуть векторв сторону вращения тела на 90° и на найденном луче отложить отрезок АР, который равен: .
Рис. 32	2. Если известны направления скоростей двух точек тела и их направления не коллинеарны, то МЦС находится в точке пересечения перпендикуляров, проведенных к скоростям в указанных точках.
3. Если скорости двух точек тела параллельны и ^ отрезку, соединяющему точки, то МЦС находится в точке пересечения этой прямой и прямой, соединяющей концы векторов скоростей. Рис. 33

Исключения из правил 2 и 3.

2 а). Если направления скоростей и параллельны, то перпендикуляры к скоростям не пересекаются. Рис. 34	3 а). Если =, то МЦС не существует.
Рис. 35	4. Если колесо катится без скольжения по неподвижной поверхности, то МЦС находится в точке касания колеса и неподвижной поверхности.

Рекомендации к решению задач.

1. Величины скоростей пропорциональны расстояниям от точек до МЦС: ,

т.е. для того, чтобы определить скорость любой точки тела необходимо знать скорость какой–нибудь одной его точки и положение МЦС.

2. Чтобы найти направление скорости любой точки тела, необходимо соединить её с МЦС и провести перпендикуляр к этому отрезку в сторону вращения тела. Обратить внимание на то, что ориентация скоростей всех точек тела должна быть одинаковой.

Рис. 36

3. Величина угловой скорости тела равна отношению величины скорости какой–нибудь точки тела к её расстоянию до МЦС.

 

§ 4. Ускорения точек тела при плоскопараллельном движении.

 

По определению , тогда .

(3.6)

Найдем .

Рис. 37

Из рисунка имеем . Продифференцируем это выражение один раз по времени: . Однако, согласно формуле Эйлера .

Тогда . (3.7)

Эта формула носит имя Ривальса.

Обозначим . Тогда формула Ривальса примет вид: . (3.8)

Вычислим величины и направления векторов, входящих в (3.8).

Величина и направление определяется тем, что. Величина вращательного ускорения точки М относительно полюса А

. (3.9)

Направление определяется пот правилам векторного произведения.

Величина осестремительного ускорения точки М относительно полюса А равна: .

Тогда . (3.10)

Вектор направлен вдоль линии от точки М к полюсу А.

Тогда, окончательно, формула Ривальса примет вид:

. (3.11)