Примеры задач линейного программирования. Построение их экономико-математических моделей

1.3. Задача оптимального раскроя.

В мастерской имеются брусья длиной 1 м. Изних надо выпилить 12 брусков длиной 0.34 м и 25 брусков длиной 0.21 м. Возможны три способа распила.

1 способ: 2 заготовки по 0.34 м и 1 заготовка длиной 0.21 м, в отходы попадает 0.11 м.

2 способ: 1 заготовка по 0.34м, 3 заготовки длиной 0.21 м, в отхода попадает 0.03 м.

3 способ: 4 заготовки по 0.21 м. в отходы попадает 0.16 м.

Определить, сколько брусьев надо распилить по каждомуизвозможных вариантов, чтобы общая величина отходов была минимальной. Если x₁ - число брусьев, распиленныхпервому варианту, х₂ - по второму и х₃ - по третьему, то задачу можно записать следующим образом: найти минимум функции F=0.11х₁+0.03х₂+0.16х₃, при условии, что

1.4. Задача составления рациона (задача о диете, задача о смесях).

Имеется два вида корма А и В, содержащие питательные вещества (витамины) S₁,S₂ и S₃. В корме вида А содержится 3 ед. вещества S₁, 1 ед. вещества S₂, 1 ед. вещества S₃. В корме вида В содержится 1,2 и 6 ед. веществ S₁,S₂ и S₃ соответственно. Необходимый минимум питательных веществ S₁,S₂ и S₃ составляет 9,8 и 12 ед. Стоимость 1 кг корма А и В соответственно 4 и 6 руб.

Необходимо составить дневной рацион, имеющий минимальную стоимость, в котором содержание каждого вида питательных веществ было бы не менее установленного предела.

Обозначим х₁, х₂ – количество кормов А и В, входящих в дневной рацион. Тогда этот рацион (3х₁+х₂ ) ед. питательного вещества S₁, (х₁+2х₂ ) ед. питательного вещества S₂ и (х₁+6х₂ ) ед. питательного вещества S₃. Так как содержание питательных веществ в рационе должно быть не менее 9, 8 и 12 ед. соответственно, то получим систему неравенств:

Общая стоимость рациона составит: F=4x₁+6x₂ руб.

Требуется составить такой рацион Х=(х₁,х₂ ), удовлетворяющий указанной системе ограничений, при котором функция F принимает минимальное значение.

1.5. Задача об использовании мощностей (задача о загрузке оборудования).

Предприятию задан план производства продукции по времени и номенклатуре: требуется за время Т выпустить n₁,n₂,…,n_k единиц продукции P₁,P₂,…P_k. Продукция производится на станках S₁,S₂,…S_m. Для каждого станка известны производительность а_ij (т.е. число единиц продукции P_j которое можно произвести на станке S_i) и затраты b_ij на изготовление продукции P_j на станке S_i в единицу времени.

Необходимо составить такой план работы станков (т.е. так распределить выпуск продукции между станками), чтобы затраты на производство всей продукции были минимальными.

Обозначим х_ij – время, в течение которого станок S_i будет занят изготовлением продукции P_j (i=1,2,…m;j=1,2,…k).

Так как время работы каждого станка ограничено и не превышает Т, то справедливы неравенства:

Для выполнения плана выпуска по номенклатуре необходимо, чтобы выполнялись следующие равенства:.

Затраты на производство всей продукции выразятся функцией:

F = b₁₁x₁₁+b₁₂x₁₂+…+b_mkx_mk.

Требуется найти такое решение Х=(х₁₁,х₁₂,…,х_mk), удовлетворяющее обеим системам ограничений и при котором функция F принимает минимальное значение.