Объем и площадь n-мерной сферы

На основании размерности для объема n -мерной сферы радиусом r и шарового слоя толщиной dr получаем

,

.

Для нахождения постоянной вычисляем по всему пространству интеграл

.

В декартовых координатах

,

,

тогда

,

где использован интеграл Пуассона

.

В сферических координатах

,

тогда

,

где учтено

.

Гамма-функция является обобщением факториала и удовлетворяет соотношениям:

Г(n + 1) = n!, ,

Г(z + 1) = z Г(z),

,

, , ,

при .

Сравниваем выражения в декартовых и сферических координатах:

, ,

находим

.

В результате объем n -мерного шара и шарового слоя

, (П.2.1)

. (П.2.2)

Площадь сферы

. (П.2.3)

Эллипсоид с полуосями удовлетворяет уравнению

.

Сравниваем с уравнением сферы

,

обобщаем (П.2.1)

,

и находим объем n -мерного эллипсоида

. (П.2.1а)

Дата добавления: 2014-01-20; Просмотров: 3290; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!