Решение. Исследовать на экстремум функцию

Пример

Исследовать на экстремум функцию .

1⁰ Составим систему уравнений :

2⁰ Решим систему и найдем стационарные точки функции :

.

Таким образом, имеем три стационарные точки: М ₁(0;0); М ₂(2;2) и М ₃(-2;2) –

рис. 3.

Рис. 3. График функции ; указаны точки графика, соответствующие стационарным точкам

3⁰ Составим матрицу Гессе :

.

4⁰ Для каждой стационарной точки вычисляем значение матрицы Гессе, устанавливаем ее знакоопределенность и делаем вывод относительно наличия и квалификации экстремума (максимум это или минимум):

нет экстремума, так как в случае максимума и в случае минимума угловой минор второго порядка должен быть неотрицательным.

нет экстремума.

5⁰ Вычисляем значения функции в точке экстремума:

В точке локального максимума М ₁(0;0): .

Посмотрим, является ли найденная точка точкой глобального максимума. Чтобы удостовериться в обратном, достаточно найти значения переменных х и у, при которых значение функции будет больше, чем в точке локального максимума. Покажем большее, а именно, что данная функция вообще не имеет глобального максимума. Положим , а х устремим к . Тогда, очевидно, . А это означает, что функция не ограничена, а значит не может иметь глобального максимума.

Дата добавления: 2014-01-20; Просмотров: 429; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!