Теорема Гаусса-Маркова. 2. Х – детерминированная матрица , имеющая максимальный ранг k;

Предположим, что:

1. ;

2. Х – детерминированная матрица , имеющая максимальный ранг k;

3. ; .

Тогда оценка МНК является наиболее эффективной (в смысле наименьшей дисперсии) оценкой в классе линейных несмещенных оценок.

Доказательство:

Обозначим , . Любую другую оценку можно представить в виде , где С – некоторая матрица.

Докажем несмещенность оценок.

.

Так как оценка должна быть несмещенной, то

.

Используя СХ = 0, получим

(так как AX = E и СХ = 0).

Вычислим ковариационную матрицу вектора b.

.

Таким образом, или .

Теорема доказана.

Дата добавления: 2014-01-20; Просмотров: 741; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!