Явления переноса в термодинамически неравновесных системах

Если в одной области газа средняя кинетическая энергия молекул больше, чем в другой, то с течением времени, вследствие постоянных столкновений молекул, участвующих в тепловом хаотическом движении, происходит процесс выравнивания средних кинетических энергий молекул, т.е., иными словами, выравнивание температур. Перенос энергии в форме теплоты (без переноса массы) при наличии градиента температуры называется теплопроводностью.

Предположим, что температура газа изменяется только в направлении оси Oz (рис. 8.4.2). Экспериментально установлено, что в этом случае теплопроводность газа определяется формулой Фурье:

, (8.4.4)

где количество теплоты, переносимое за время через площадку S, расположенную перпендикулярно оси Oz;

градиент температуры газа; коэффициент теплопроводности,

который зависит от свойств газа и тех условий, в которых находится газ.

В слое с бòльшей температурой молекулы газа имеют бòльшую кинетическую энергию, чем в слое с меньшей температурой. Попадая при хаотическом движении в этот слой, они при столкновениях с другими молекулами слоя передают им избыток своей энергии и тем самым увеличивают его температуру. Наоборот, молекулы, попадающие из слоя с меньшей температурой, в слой с бòльшей температурой, будут увеличивать в нем свою энергию за счет других молекул слоя и тем самым понижать его температуру. Поэтому в МКТ перенос количества теплоты через площадку S рассматривается как перенос через эту площадку средней кинетической энергии хаотического движения молекул.

Из тех же соображений, что и при вычислении коэффициента динамической вязкости, молекулам, пролетающим площадку S снизу вверх, нужно приписать среднюю энергию, соответствующую температуре в плоскости , а

молекулам, летящим сверху вниз, – значение энергии, определяемое температурой

в плоскости . Средняя кинетическая энергия молекулы газа связана с его температурой соотношением , поэтому вверх через площадку S из нижнего слоя одной молекулой переносится энергия , а обратно . Соответственно, из верхнего, более нагретого слоя, вниз переносится энергия , а обратно . Разность этих величин, равная ,

представляет собой среднюю энергию, переносимую одной молекулой, перелетающей из слоя в слой.

Число молекул n в единице объема газа обратно пропорционально температуре Т, а средняя скорость молекул пропорциональна , поэтому произведение пропорционально . Если разница температур слоев невелика, то можно считать, что для обоих слоев приблизительно одинаково. Тогда, как и при вычислении коэффициента динамической вязкости, число молекул, пролетающих в одном направлении через площадку S в единицу времени, равно . Таким образом, через площадку S за время переносится энергия

. (8.4.5)

Это уравнение представляет собой закон Фурье.

Сравнивая полученное выражение с эмпирической формулой, найдем коэффициент теплопроводности:

. (8.4.6)

Когда в смеси газов концентрация какого-либо газа распределена неравномерно, то возникает перенос этого газа в места с меньшей концентрацией. Перенос массы (без переноса энергии) при наличии градиента концентрации называется диффузией. Если в сосуде находится только один газ, плотность которого в занимаемом им объеме неодинакова, то происходит диффузия молекул газа в среде того же самого газа, т.е. самодиффузия.

Предположим, что плотность газа изменяется только в направлении оси Oz (рис. 8.4.3). Экспериментально установлено, что диффузия газа описывается формулой:, где масса газа, переносимая за время через площадку S, расположенную перпендикулярно оси Oz; градиент плотности газа; коэффициент диффузии, который зависит не только от природы диффундирующего газа и условий, в которых он находится, но и от природы среды, в которой он диффундирует, и условий, при которых находится эта среда.

Рассмотрим самодиффузию газа и вычислим коэффициент диффузии. Обозначим через и среднее число молекул, содержащихся в объеме газа в сечениях

, и соответственно.

Очевидно, что , а .

Можно считать, что в единицу времени через площадку S снизу вверх пролетят молекул, а обратно молекул. Из верхнего слоя вниз через площадку пролетает молекул, а обратно молекул.

Разность этих величин дает число молекул, пролетающих через эту площадку в единицу времени в направлении снизу вверх:

.

Умножая на массу одной молекулы и на время , найдем массу газа

, переносимого за время через площадку S:

.

Так как , то

. (8.4.8)

Это уравнение представляет собой закон Фика.

Сравнивая полученное выражение с эмпирической формулой, найдем коэффициент диффузии:

. (8.4.9)

В векторной форме закон Фика может быть записан следующим образом:

, (8.4.10)

где вектор плотности потока массы. Модуль этого вектора равен .

Знак «–» показывает, что масса переносится в направлении убывания плотности. Сравним явления переноса между собой.

Таблица 8.4.1.