КАТЕГОРИИ:
Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)
Відношення між множинами. Геометричне зображення множин
|
|
|
|
В множині можуть бути виділені підмножини.
Означення. Множина 
називається підмножиною множини 
, якщо кожен елемент множини належить множині .
Це позначається як 
(
) – « включається в » (включає ), де 
– знак нестрогого включення.
.
Наприклад: 
, 
, – – підмножина .
Зауваження. Слід підкреслити відмінність між відношенням належності 
і відношенням включення 
. Як вже зазначалося, множина може бути своєю підмножиною 
, але не може входити до складу своїх елементів (
). Навіть у разі одноелементної множини розрізняють саму множину 
та її єдиний елемент 
.
Означення. Множини і називаються рівними, якщо вони складаються з одних і тих самих елементів, тобто 
і .
і .
Приклад. 
, 
.
Якщо и 
, то називається власною, строгою чи істинною підмножиною . Позначення: 
, де – знак строгого включення.
Очевидно, що для будь-якої множини 
і 
.
і називаються невласними підмножинами множини .
Для кожної множини існує множина, елементами якої є всі її підмножини.
Означення. Множина, елементами якої є всі підмножини множини і тільки вони, називається булеаном (або множиною підмножин) множини і позначається 
. Відносно елементів булеана множина є універсумом. (Тобто, універсальна множина – це множина, підмножинами якої є всі множини, що розглядаються,)
У разі скінченної підмножини , що складається з 
елементів, булеан містить 
елементів:
.
Легко побачити, що число елементів булеана залежить від числа елементів универсуму 
. Наприклад, якщо 
, то маємо 
.
Приклад. Розглянемо утворення булеана множини:
:
;
:
.
Перша й остання підмножини невласні, інші – власні.
Порожня множинамає властивість: 
при будь-якому 
. Універсальна множина 
має властивість: 
при будь-якому .Множини і відношення між ними зручно задавати графічно за допомогою так званих діаграм Ейлера-Венна. Діаграми Ейлера-Венна (Джон Венн (1834-1923) англійський логік і математик, професор Кембриджського університету) є геометричним зображенням множин. Множина зображується замкненою кривою довільної форми (найчастіше – кругом). Точки, які лежать всередині замкненої кривої, можна розглядати як елементи відповідної множини. Наприклад:
Універсум на діаграмах Ейлера-Венна зображується у вигляді прямокутника.
Діаграму Ейлера-Венна можна розглядати як окремий випадок задання множини переліком його елементів. В цьому випадку всередині діаграми Ейлера-Венна можуть бути зображені символічні позначення елементів.
Наприклад: На наступній діаграмі Ейлера-Венна задані множини 
, 
в універсумі 
:
|
|
|
|
Дата добавления: 2014-01-11; Просмотров: 6280; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!