Сердечник кабеля

Общая схема метода разделения переменных

Общая первая краевая задача

Постановка общей первой краевой задачи для уравнений колебания ставится следующем образом. Найдем решение уравнения (1):

где ,

С дополнительными условиями:

, ,

, , (2)

Сведем исходную задачу к более простой. Будем искать решение в виде

(3)

Тогда уравнение примет вид

Где

С дополнительными условиями

,

,

,

,

Последнее два выражения дают связь между граничными значениями функций и . Если выбрать функцию таки образом, чтобы и , то задача для нахождения функции сведется к уже решенной в предыдущем пункте задаче для неоднородного уравнения с нулевыми граничными условиями. Легко видеть, что для выполнения и достаточно положить

,

Данная схема применяется не только к колебаниям однородной струны, но и к колебаниям неоднородным колебаниям струны.

(1)

Где ,

, , (2)

, , , , , (3)

Для отыскания решения обратимся к вспомогательной задачи. Найдем нетривиальное решение уравнения (1) удовлетворяющее граничным условиям (2) и представимое в виде

(4)

Подставляем (4) в (1), получаем

(5)

(6)

(7)

Если воспользоваться решением уравнения (4), то получим

Это есть дополнительные условия.

Найдем те значения параметра, при которых существует нетривиальное решение задачи (7). Такие значения параметра называются собственными значениями, а соответственно им нетривиальное решение – собственными функциями.

Основные свойства:

1.Существует бесконечное множество собственных значения, которые соответствуют нетривиальному решению.

2.Все собственные значения вещественные, а при они положительные.

3.Собственные значения принимают соотношения различных значений ортогональные между собой с весом на отрезке .

(8)

4.Теорема разложения Стеклова

Пусть дана функция F(x) дважды непрерывная дифференцируемая и удовлетворяющая нулевым граничным условиям. Данная функция разлагается в равномерный и абсолютно сходящийся ряд.

(9)

Свойства (1) и (4) основаны на теории интегральных уравнений. Остановимся на доказательстве свойств (2) и (3). Для этого выберем формулу Грина. Пусть есть и произвольные и дважды дифференцируемые на отрезке.

(10)

Докажем (3) свойство.

Пусть и две собственных функций собственных значений и .

Учитывая граничные условия

,

Воспользуемся соотношением

Получим:

За счет граничных условий правая часть в формуле Грина обратится в ноль. Таким образом доказали формулу (8), т.е. получили:

(11)

Это доказательство того что каждому собственному значению соответствует только одна собственная функция. Функции, которые отличаются друг от друга на множитель, мы различать не будем. В силу линейности и однородности уравнения (7) и граничными условиями ясно следующее, если является собственной функцией отвечающей собственных значений , то и функция , где - произвольная константа. Чтобы избежать неопределенности в выборе множителя подчиним условию нормировки:

Если не удовлетворяет условию нормировке, тогда домножаем ее на числои уже требуем выполнения условия

Если подчинить задачу (7) условию нормировки, то тогда общее соотношение будет записано в виде:

Это условие ортогональности.

Докажем свойство (2).

Пусть собственные значения являются комплексными: , ему будет соответствовать следовательно, функция является комплексной. Из граничных условий следует, что , . Подставим собственные значения и собственную функцию в (7), получим:

Возьмем комплексное сопряжение

Собственные значения разные, следовательно, функции разные. Это значит, что интеграл равен нулю.

Пусть

Числа

Запишем разложение в ряд

Все что мы делали, касалось функции . Теперь рассмотрим для Функции .

и неизвестны.

Вспомогательная задача имеет решение в виде:

Просуммируем и получим общее решение

Не следует считать, что общая схема применяется для первой и второй краевой задачи. Общую схему можно применить и для третий краевой задачи, которая является обобщением первой и второй краевых задач.

Третья краевая задача.

Найдем решение уравнения

, (1)

- функции непрерывны на промежутке

Начальные условия:

, (2)

Граничные условия:

(3)

Соотношения между ними

Зададим решение методом разделения переменных. Следовательно, будем искать решение в виде произведений, и данное решение подставим в уравнение (1).

(4)

Из уравнения (4), если , мы получим первую краевую задачу. При получим вторую краевую задачу, треть краевая задача является линейной комбинацией.

Используя значение функций и собственные значения можно преступить к решению неоднородного уравнения в случае однородных граничных условий третий краевой задачи.

Основное назначение: передача полезной информации: сигналов автоматики, связи с малым затуханием и искажением формы.

Сердечник состоит из совокупности жил. Материал жил кабеля автоматики и связи – медь; диаметр в зависимости от области использования:

1 - Городские: 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7 [мм] обычно - 0,5

2 - Магистральные: 0,8; 0,9; 1,0; 1,1; 1,2; 1,3 [мм] обычно - 0,9; 1,2

Жилы определяют параметры передачи, а именно: сопротивление и индуктивность – кабель работает в широком спектре частот.

, при f=0 w®¥

1) При рассмотрении функции сопротивления от частоты R(f) проявляются два эффекта - скин-эффект - поверхностный эффект, заключается в вытеснении тока на поверхность проводника с ростом частоты, т.е. плотность тока на поверхности с ростом частоты растет. Это приводит к уменьшению эффективного сечения и росту сопротивления. Другой эффект: эффект близости (электромагнитный эффект). Т.к. сердечник кабеля состоит из нескольких жил (проводников), которые оказывают электромагнитные влияния друг на друга.

2) Индуктивность жил кабеля определяется магнитным полем, которое возникает в сердечнике. С ростом частоты магнитное поле как бы “стягивается” к проводнику; за счёт этого индуктивность с ростом частоты будет уменьшатся, (поскольку рамка которая охватывает магнитное поле уменьшается).

Дата добавления: 2014-01-15; Просмотров: 383; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!