Уравнение Лагранжа II рода

В декартовой системе координат уравнение (А) имеет вид:

(1)

Однако, когда система материальных точек имеет несколько степеней свободы, пользоваться уравнением (1) не всегда удобно, так как вариации декартовых координат взаимосвязаны между собой. Тогда удобнее пользоваться обобщёнными координатами, которые независимы друг от друга и независимы и их вариации.

Итак, нужно общее уравнение динамики (А), записанное в векторной форме:

(А) или (2)

Тогда уравнение (13-3) примет окончательный вид:

(13-4)

Так как вариации элементарного приращения обобщенной координаты (степени свободы системы: j=1, 2, 3,… s) – произвольные независимые и не равные нулю, то уравнение (13-4) упрощается и, после сокращения , окончательно получим систему S дифференциальных уравнений второго порядка относительно обобщённых координат q₁,q₂,…,q_s, которые называют уравнениями Лагранжа II рода:

(В) (14)

где j=1, 2, 3,… s – степени свободы механической системы,

- частный дифференциал кинетической энергиисистемы по скорости j-тойобобщенной координаты .

- частный дифференциал кинетической энергиисистемы по j-тойобобщенной координате .

Найдём значение для консервативных систем сил (когда силы, действующие на механическую систему, имеют потенциал).

Составим сумму работ всех сил, действующих на систему, на возможных элементарных перемещениях радиус-вектора точек , вызванных элементарным приращением обоб-щенной координаты . Воспользуемся для этого выражением элементарной работы силы в виде скалярного произведения силы на элементарное приращение обобщенной координаты: (15)

Где элементарные приращения радиус-вектора точек , покажем через элементарные приращения обобщенной координаты :

Так как обобщенной силой _, соответствующей обобщённой координате , называется скалярная величина, определяемая отношением элементарной работы действующих сил, на элементарном перемещении механической системы, вызванном элементарным приращением j-той обобщенной координаты , к величине этого приращения, то формула обобщённой силы будет иметь следующий вид:

(16)

Подставив (15) в (16) получим обобщённую силу в виде суммы скалярных произведений векторов силы на частный дифференциал радиус-вектора i-той точки системы по j-той обобщенной координате :

(17)

Выразим это скалярное произведение через проекции векторов на декартовые оси координат:

(18)

В том случае, когда силы , действующие на механическую систему, имеют потенциал, тогда проекции этих сил на оси координат равны взятым с обратным знаком частным производным от потенциальной энергии системы по соответствующим координатам точек:

(19)

Подставим это значение проекций сил в формулу (18):

(20)

Найдём частную производную от потенциальной энергии системы по обобщённой координате , рассматривая как сложную функцию обобщённых координат, определяемую зависимостями:

,

где

Эта частная производная от потенциальной энергии определяется суммой 3n слагаемых:

(21)

Так как правые части уравнений (20) и (21) равны, то равны соответственно и левые части: (22)

Подставим значение обобщённой силы из уравнения (22) в уравнение Лагранжа II рода (14) и получим уравнение Лагранжа II рода для консервативных систем сил (когда силы, действующие на механическую систему, имеют потенциал).

:

(23)

Это уравнение можно преобразовать путем введения функции Лагранжа L=T-П, называемой кинетическим потенциалом. Исходя из значений T и П кинетический потенциал L является функцией обобщённых координат, обобщённых скоростей и времени:

Потенциальная энергия является только функцией обобщённых координат и времени (но не скорости ), а потому

Поэтому, так как то ее частный дифференциал по обобщённой координате будет , а

по обобщённой скорости :

Если подставить эти две частные производные кинетической энергии Т в уравнения Лагранжа (23), то получим ,

или (j=1,2,…,s) (24)

Уравнения (24) называются уравнениями Лагранжа второго рода для консервативных систем.

Уравнения Лагранжа второго рода широко используются при изучении свободных колебаний механических систем во многих областях техники.

Применение уравнений Лагранжа второго рода к определению частоты и периода свободных колебаний механических систем с одной степенью свободы показано на примере ниже приведенной задачи и контрольной работы Д-23.

ВЫВОДЫ

1. Ньютоновский метод исследования движения механической системы основан на векторной мере движения – количестве движения материальной точки: . Эта мера требует введения понятия силы (и меры силы - импульса силы )

Дата добавления: 2014-01-15; Просмотров: 1149; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!