Лекция № 14

......

......

......

...... x

Для таких простейших случаев одномерных потоков несжимаемой жидкости решения (P, w, Q) можно получить, не прибегая к уравнению Лапласа, а используя только уравнение движения и его связь с дебитом. Это становится возможным потому, что дебит в таких случаях постоянный, либо является простой функцией координаты движения, что позволяет разделить переменные. Составим уравнение, левая часть которого выражает скорость фильтрации через нелинейный закон движения, а правая – скорость, выраженную через объемный дебит и площадь фильтрации

; 1 < n < 2.

Разделяя переменные и интегрируя в соответствующих пределах, найдем Q

; откуда ,

интегрируя в переменных пределах, найдем распределение давления.

;

или подставляя сюда выражение Q, получим:

,

что в точности совпадает при фильтрации по линейному закону Дарси.

Находим градиент давления

и скорость фильтрации

,

будет постоянной и не зависит от координаты движения.

2. Плоскорадиальный фильтрационный поток несжимаемой жидкости.

Моделью является круговой пласт постоянной мощности, в центре пласта добывающая скважина. Движение жидкости к скважине по координате r. Начало координат на скважине. Составим уравнение, левая часть которого, как и раньше, выражает скорость фильтрации при нелинейном законе движения, а правая – скорость, выраженную через объемный дебит и площадь фильтрации.

,

где - площадь сечения пласта.

Разделяя здесь переменные и интегрируя, получим:

;

Откуда

.

В предельном случае при n = 2 (закон Краснопольского)

.

Распределение давления в потоке определим из предыдущего интегрируемого уравнения, проведя интегрирование его в переменных пределах, а затем подставив найденное выражение потока Q:

; .

В случае закона Краснопольского (n = 2)

,

что совпадает с решением давления при радиально-сферическом притоке по линейному закону Дарси. Совпадает и градиент давления

;

при (n = 2) .

Скорость фильтрации w определяется

.

К такому же результату приводит расчет по формуле .

Индикаторные кривые, т.е. кривые дебита в зависимости от депрессии давления DР, имеют вид (рис. 13.3):

Кривая распределения давления в плоскорадиальном потоке при нелинейном законе фильтрации имеет форму гиперболы, а следовательно, воронка депрессии будет гиперболоидом вращения и будет круче, чем логарифмическая воронка в соответствующем потоке при линейной фильтрации (рис. 13.4).

Распределение скорости фильтрации при линейном и при нелинейном законах фильтрации, в отличие от распределения давления, не изменяет своей функциональной зависимости от координаты r и остается гиперболическим. В обоих случаях скорость, как это следует из соответствующих формул, скорость движения частицы жидкости нарастает при приближении к стенкам скважины по одинаковой зависимости.

Следует отметить, что в реальных условиях нельзя считать, что во всем

пласте – от стенки до контура питания справедлив один нелинейный закон фильтрации с постоянным n. Фильтрация может происходить по линейному закону при небольших дебитах, но с его ростом нарушение линейности начнется, прежде всего, у забоя скважины, в то время как в остальной части пласта может сохраняться закон Дарси. В дальнейшем по мере увеличения дебита область потока, в которой нарушен закон Дарси, будет расширяться.

В этих случаях необходимо использовать двухчленный закон функции

, где .

Выражая скорость фильтрации через дебит , перепишем двухчленный закон

,

разделяя здесь переменные, получим

.

Проинтегрировав здесь соответственно от r до R_k и от Р до Р_к, найдем:

а) распределение давления в пласте

;

б) дебит скважины, как положительную переменную квадратного уравнения

.

3.7.1 Общие замечания.

В реальных условиях пористая среда редко бывает однородной. Неоднородной называется среда, у которой ее фильтрационные характеристики – пористость и проницаемость различны в различных точках. Однако часто даже в неоднородных пластах могут быть применены рассмотренные выше решения фильтрационных потоков, если эта неоднородность хаотичная (случайная). Тогда большие области пласта на макро уровне можно считать в среднем однородными. Но есть макро неоднородные пласты, в которых отдельные участки существенно различаются по фильтрационным характеристикам. В пластах-коллекторах нефти и газа выделяют следующие основные виды неоднородности.

1. Слоистая неоднородность. Фильтрационные характеристики в пределах слоев постоянны, а между собой различаются. При этом на границе пластов рассматривают два случая: слои гидравлически изолированы (границы непроницаемы) и между слоями существуют перетоки жидкости. Это случаи вертикальной неоднородности.

2. Зональная неоднородность, при которой пласт по площади распространения состоит из нескольких зон различной проницаемости. Это случай латеральной неоднородности.

3. Неоднородность, у которой проницаемость описывается непрерывной функцией от координат точек пространства k (x,y,z).

Рассмотрим одномерные потоки несжимаемой жидкости, подчиняющиеся закону Дарси в таких неоднородных пластах.

а) Слоистая неоднородность.

3.7.2 Прямолинейно-параллельный поток.

Горизонтальный пласт постоянной толщиной h и шириной В состоит из n пропластков с толщинами h₁, h₂…h_n, проницаемостью k₁, k₂…k_n и пористостью m₁, m₂…m_n. На контуре давление - Р_к; в скважинах - Р_r (рис.14.1).

Рис. 14.1. Разрез (а) и план пласта (б)

При отсутствии перетоков жидкости между пропластками распределение давления по координате х не будет зависеть от параметров среды и во всех пропластках будет одинаково. Оно будет аналогичным распределению давления в однородном пласте.

.

Скорость фильтрации в каждом i-м пропластке будет индивидуальной, т.к. зависит от проницаемости:

, i = 1, 2 …n.

Дебит потока Q можно вычислить как сумму дебитов в отдельных пропластках Q_i:

.

Движение частиц жидкости в каждом пропластке будет плоскопараллельным, но уравнения движения разные, из-за неодинаковой скорости фильрации

.

Для гидродинамических расчетов иногда бывает удобным заменить пласт со слоистой неоднородностью однородным пластом (h, B, L_k) со средневзвешенной проницаемостью, определенной на основе равенства дебитов.

.

б) Зональная неоднородность.

Горизонтальный пласт (h, B, L_k, Р_к, Р_r) состоит из n зон: (k₁, m₁, l₁), (k₂, m₂, l₂), (k_i, m_i, l_i)…(k_n, m_n, l_n); где: k_i – проницаемость, m_i – пористость, l_i – длина i-й зоны. Характеристики такого потока в пределах каждой однородной зоны будут рассчитываться по формулам

, l_{i - 1}< x< l_i,

где: Р⁽ⁱ⁾ (х) – распределение давления в i-й зоне, Р_i-1 и Р_i – давления на границах зон, играющие роль контурного и забойного давления в скважинах галереи соответственно.

Градиент давления в каждой зоне постоянный, но различный в разных зонах

.

Дебит вследствие неразрывности потока несжимаемой жидкости будет постоянным в любом сечении потока (любой зоне).

Применяя к потоку в i-й зоне свойства пропорций, получим выражение дебита через обобщенные характеристики пласта и граничные значения давлений

.

Скорость потока также постоянна в любом сечении

=const.

При этом надо иметь в виду, что истинные скорости движения частиц будут меньше в зонах с большей пористостью и наоборот.

Среднее значение проницаемости k _ср такого неоднородного пласта определяется из равенства дебитов зонально неоднородного и эквивалентного ему однородного пласта с проницаемостью k _ср

.

Отсюда

.

Давление p_i на границе раздела сред с различной проницаемостью, входящие в формулу р(х), определим из условия равенства скоростей фильтрации в этих зонах:

.

Например, если неоднородный пласт состоит из двух зон, как это часто бывает на практике, то

,

отсюда .

Теперь подставляя это решение в выражения распределения давления в зонах Р⁽¹⁾(х) и Р⁽²⁾(х), найдем их выражения:

, 0 £ х £ l₁,

, l₁ < x £ L_k.

Если установившееся прямолинейное движение несжимаемой жидкости происходит в пласте, где проницаемость меняется непрерывно и задана функцией к = к (х), тогда дебит такого потока

.

Разделяя переменные и интегрируя, получим

.

3.7.3. Плоскорадиальный поток.

а) Слоистая неоднородность.

Установившийся плоскорадиальный поток несжимаемой жидкости по закону Дарси направлен к гидравлически совершенной скважине радиуса r_с, в слоисто-неоднородном пласте, состоящем из n пропластков с разными коллекторскими свойствами и толщинами (k_i, m_i, h_i). При этом на контуре питания поддерживается давление Р_к, а на забое скважины – Р_c.

Во всех пропластках распределение давления по цилиндрической координате r будет таким же как и для однородного пласта и подчиняться логарифмическому закону, поскольку граничные давления (Р_к, Р_с) в них одинаковы (рис. 14.3):

.

Градиент давления также одинаков:

,

Скорость фильтрации будет индивидуальной в каждом пропластке и пропорциональна его проницаемости - k_i

.

Дебит будет равен сумме дебитов пропластков:

Средневзвешенное значение проницаемости можно определить из равенства дебитов слоисто-неоднородного и эквивалентного ему однородного пласта с проницаемостью к_ср:

.

Откуда .

б) Зональная неоднородность.

		Имеется горизонтальный пласт (h, mi, ki, n, Рk, Рc) с кольцеобразными зонами, имеющими форму цилиндрических поверхностей, соосных со скважиной. На внешней n-й зоне, являющейся контуром питания пласта Rk, поддерживается постоянное давление Рk, на внутренней границе пласта rc (забое совершенной скважины) поддерживается постоянное давление Рс (рис. 14.4).

Рис. 14.4

В пласте имеет место установившийся плоскорадиальный поток несжимаемой жидкости по закону Дарси.

Распределение давления в каждой i-й зоне будет подчиняться логарифмическому закону, где роль контурных давлений будут играть давления на внешних и внутренних границах зоны:

; r_i-1 £ r £ r_i, i = 1, 2, …n,

где: Р⁽ⁱ⁾(r) – распределение давления в i-й зоне, Р_i и Р_i-1 – давления на границах зон, играющие роль контурного и забойного давления в скважине, соответственно (рис. 14.5).

Градиент давления в каждой зоне также свой, но подчиняется гиперболическому закону

; r_i-1 < r £ r_i, i = 1, 2, …n.

Дебит потока вследствие неразрывности потока жидкости будет постоянным через любую цилиндрическую поверхность:

.

Скорость фильтрации в любой точке потока найдем как отношение дебита к соответствующему фильтрационному сечению пласта на координате r