КАТЕГОРИИ:
Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)
Поверхностный интеграл 2 рода изменяет знак при перемене стороны поверхности
|
|
|
|
.
.
.
При делении комплексных чисел их модули,соответственно делятся,а аргументы-вычитаются.
Извлечение корней из комплексных чисел.
Извлечение корня п- ной степени определяется как действие,обратное возведению в натуральную степень.
Определение. Корнем п- й степени из комплексного числа 
называется комплексное число 
,удовлетворяющее равенству 
, т.е. 
,если .
Если положить 
,
,то по определению корня и формуле Муавра,получаем:
Отсюда 
,
, т.е 
.
Поэтому равенство принимает вид:
Получим п различных значений корня.При других значениях k,в силу периодичности косинуса и синуса,получатся значения корня,совпадающие с уже найденными.
ПРИМЕР. Найти значения а). 
, в). 
.
а). Запишем i в тригонометрической форме: 
, 
,
тогда 
, 
При k=0 имеем: 
,
k=1 имеем: 
,
k=2 имеем: 
.
в). Запишем -1 в тригонометрической форме: 
, 
,
тогда 
, 
При k=0 имеем: 
,
k=1 имеем: 
,
Глава 16.ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.
Обобщением двойного интеграла является так называемый поверхностный.
§1.Поверхностные интегралы I рода.
1.1.Основные понятия.
z n
Pi∆σyz
σi
σ ∆σxz ∆σi ∆σ
 |
x ∆σxy y
Рис.1. Рис.2
Пусть в точках некоторой поверхности σ с площадью σ пространства OXYZ определена непрерывная функция f(x,y,z). Разобьем поверхность σ на n частей σi,
площади которых обозначим через ∆σi, а диаметры - через di (i =1,2… n).
В каждой части σi возьмем произвольную точку Pi и составим сумму
f(xi ,yi ,zi ) ∆σi
Она называется интегральной для функции f(x,y,z) по поверхности σ.
Определение. Поверхностным интегралом первого рода от функции
f(x,y,z) по поверхности σ называется предел интегральной суммы(если он существует)
f(x,y,z) dσ = 
f(xi ,yi ,zi ) ∆σi
гдe ∆σi площадь элемента i-ого поверхности σ,которой принадлежит точка
(xi ,yi ,zi ) при λ=
∆di →0( тогда n→∞).
ТЕОРЕМА существования. Если поверхность σ гладкая(в каждой ее точке существует
касательная плоскость,которая непрерывно меняется с перемещением точки по поверхности),
а функция f(x,y,z) непрерывна на этой поверхности,то поверхностный интеграл существует.
Основные свойства поверхностного интеграла 1 рода.
1). 
kf(x,y,z)dσ = k f(x,y,z)dσ,где k-число.
2). [ f1(x,y,z)± f2(x,y,z)]dσ =f1(x,y,z)dσ ± f2(x,y,z)dσ
3). Если поверхность разбита на 2 части σ1 e σ2, то:
f(x,y,z)dσ =
f(x,y,z)dσ +
f(x,y,z)dσ
4).Если на поверхности выполнено неравенство f1(x,y,z) ≤ f2(x,y,z),то
f1(x,y,z) dσ ≤ f2(x,y,z) dσ.
5). dσ = σ,где σ – площадь поверхности σ.
6). |f(x,y,z) dσ | ≤ |f(x,y,z)|dσ.
7).(Теорема о среднем значении) Если f(x,y,z) непрерывна на поверхности σ,
то на этой поверхности существует точка (xc,yc,zc) такая,что
f(x,y,z) dσ = f(xc,yc,zc)*σ.
1.2.Вычисление поверхностного интеграла 1 рода.
Вычисление поверхностного интеграла 1 рода сводится к вычислению двойного
интеграла по области D - проекции поверхности σ на плоскость ОХУ.
σi 
OXY
Как и в только что рассмотренном случае разобьем поверхность σ на n частей σi,
и возьмем в плоскости ОХУ ( область D) произвольную точку Сi. При
этом область D окажется разбитой на n частей σxy i. Из произвольной точки Сi
восстановим перпендикуляр к плоскости ОХУ до пересечения с поверхностью σ –
получим точку М(xi ,yi ,zi) проведем через нее касательную плоскость и рассмотрим
ту ее часть Тi,которая на плоскость ОХУ проектируется в област σxy i. Получаем площади элементарных частей σi, Тi, σxy i,которые обозначим через ∆σi, ∆Тi, ∆σxy i соответственно.
Будем приближенно считать,что
∆ Тi ≈ ∆ σi.
Обозначим через γ i отрый угол между осью OZ и нормалью к поверхности в
точке Мi, получаем: ∆ Тi *cos γi ≈ ∆σxy i.
Область ∆σxy i есть проекция Тi на плоскость ОХУ.
Если поверхность σ задана уравнением z=z(x,y),то уравнение касательной
плоскости в точке Сi: 
,
где 
- координаты нормального вектора к плоскости.
Острый угол γi есть угол между векторами 
и=(0,0,1).
Косинус угла между ними равен:
cos γi = 
=1/ 
.
Тогда равенство принимает вид:
∆ Тi ≈ ∆σxy i / cos γi = ∆σxy i
Переходя к пределу при стремлении к нулю наибольшего диаметра σi, а
следовательно и его проекции σxy I, получаем формулу,выражающую
интеграл по поверхности σ через двойной интеграл по проекции σ на плоскость ОХУ:
∫ ∫ f(x,y,z) dσ = ∫ ∫ f(x,y, z(x,y)) 
dxdy
σ σxy
Отметим,что если поверхность σ задана уравнением вида у=у(х, z) или
х=х(у, z),то аналогично получим:
∫ ∫ f(x,y,z) dσ = ∫ ∫ f(x, y(х,z), z) 
dxdz
σ σ xz
∫ ∫ f(x,y,z) dσ = ∫ ∫ f(x(y,z),y, z)) 
dydz.
σ σ yz
ПРИМЕР. Вычислить ∫ ∫ 
dσ, гдe σ - часть параболоида
σ
вращения z=1-x2-y2, ограниченного поверхностью z=0 (Рис.3).
z y
|
x 1 Рис.3 y Рис.4
Решение:
Поверхность σ имеет проекцию на плоскости OXY, которая ограничена кругом x2+y2=1(z=0) с радиусом R=1 (Рис.4).
Найдем производные : z’x(x,y)= -2x; z’y(x,y)= -2y. ( при z = φ(x,y)):
По формуле:
∫ ∫ f(x,y, φ(x,y)) 
dxdy =
D
∫ ∫ dxdy = ∫ ∫ (1+4x2+4y2)dxdy.
D D
Используя полярные координаты: x=rcosφ, y=rsenφ, находим
2π 1 2π 1
∫ ∫ (1+4x2+4y2)dxdy= ∫ dφ ∫ (1+4r2)rdr = ∫ dφ [r2/2+r4] =
S 0 0 0 0
2π
1,5 ∫dφ = 1,5( 2π-0) = 3π.
0
ПРИМЕР: Вычислить ∫ ∫ x(y+z) dσ, гдe σ - часть цилиндрической поверхности
σ
х=
,отсеченной плоскостями z=0,z=2 (Рис.5). z
z 2 y
x 1 Рис.5 y Рис.6
Решение:
Почему имеем только 0,5 циллиндра? Из уравнения х=, следует,что это часть круга,где х принимает только положительные значения.
Поверхность σ имеет проекцию на плане OZY в области D-прямоугольник, который ограничен линиями z=0,z=2 и кругом x2+y2=1(z=0). D (Рис.6).
Найдем производные : (x’y)=
; (x’z)=0
По формуле:
∫ ∫ f(x,y,z) dσ = ∫ ∫ f(x,y,z) dσ = ∫ ∫ f(x(y,z),y, z)) dydz =
σ σ yz
= ∫ ∫(у+ z)
dydz = ∫ ∫ (у+ z) dydz = 
dy
(у+z)dz =
σ yz σ yz
= (у z +
)
dy=(2у+2) dy=(у²+2у) 
=1+2-1+2=4.
§2.Поверхностные интегралы II рода.
2.1.Основные понятия.
Поверхностный интеграл II рода строится по образцу криволинейного интеграла
II рода, где направленную кривую разлагали на элементы и проектировали их на
координатные оси; знак брали в зависимости от того, совпадало ли ее направление с
направлением оси или нет.
Пусть задана двусторонняя поверхность ( таковой является плоскость, эллипсоид,
любая поверхность,задаваемая уравнением z=f(x,y),где сама функция и ее производные непрерывны в некоторой области D плоскости ОХУ).
После обхода такой поверхности,не пересекая ее границы, направление
нормали к ней не меняется. Примером односторонней поверхности является так называемый
лист Мебиуса,получающийся при склеивании сторон АВ и СД прямоугольника АВСД так,
что точка А совмещается с точкой С,а В - с Д.
В С
А Д
Пусть в точках рассматриваемой двусторонней поверхности σ в пространстве
ОХУZ определена непрерывная функция f(x,y z). Выбранную сторону поверхности
(в таком случае говорят,что поверхность ориентирована) разбиваем на части σ i,
где ( i =1,2… n) и проектируемих на координатные плоскости.
При этом площадь проекции ∆ σ i берем со знаком:
- плюс,если выбрана верхняя сторона поверхности,или,что то же
самое, если нормаль 
к выбранной сторонеповерхности составляет
с осью ОZ острый угол, т.е. (cosγ >0) и
- минус,если выбрана нижняя сторона поверхности (cosγ <0).
В этом случае интегральная сумма имеет вид:
,где ∆ σ хуi –площадь проекции σ на плоскость ХОУ.
Определение. Предел интегральной суммы,если он существует и не зависит
от способа разбиения поверхности σ на части σ i и от выбора точек Ci 
σi
называется поверхностным интегралом II рода (по координатам) от
функции f(x,y z) по переменным х и у по выбранной стороне поверхности и
обозначается 
Тогда 
Аналогично определяются поверхностные интегралы 2 рода по переменным
y, z и z,x: 
,
Общим видом поверхностного интеграла 2 рода служит интеграл(связь между
поверхностными интегралами I и II рода):
∫ ∫ P(х,у,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy= ∫ ∫[Pcos α + Qcosβ + Rcosγ] dσ (1)
σ + σ
Отметим,что если σ – замкнутая поверхность,то поверхностный интеграл по внешней стороне ее обозначается 
,по внутренней- 
.
Из определения поверхностного интеграла II рода вытекают следующие свойства:
2).Постоянный множитель можно выносить за знак поверхностного интеграла.
3).Поверхностный интеграл от суммы функций равен сумме соответствующих интегралов от слагаемых.
4) Поверхностный интеграл II рода по всей поверхности σ= σ1+σ2 равен сумме интегралов по ее частям σ1 и σ 2,если σ1 и σ 2 пересекаются только по границе,их разделяющей.
5).Если σ1, σ2,σ3 - цилиндрические поверхности с образующими, параллельными соответственно осям OX,OY,OZ,то
∫ ∫R(x,y,z)dxdy= ∫ ∫ P(x,y,z)dydz= ∫ ∫Q(x,y,z)dzdx=0.
σ1 σ2σ3
2.2.Вычисление поверхностного интеграла II рода.
Вычисление поверхностного интеграла 2 рода сводится к вычислению двойного интеграла.
Пусть функция R(x,y,z) непрерывна во всех точках поверхности σ заданной уравнением z= z (x,y), где z (x,y)- непрерывная функция в замкнутой области D ( или Dху) – проекция поверхности σ на ОХУ.
Выберем сторону поверхности σ,где нормаль к ней образует с осью Оz острый угол, тогда получим результат со знаком (+),
если выбрать вторую сторону поверхности,т.е. нижнюю,(тупой угол) то
полученный интеграл будет со знаком (-).
∫ ∫R(x,y,z)dxdy = ± ∫ ∫ R(x,y,z(x,y)) dxdy (2)
σ + Dху
Аналогично: если поверхность задана уравнением у=у(х,z)
∫ ∫Q(x,y,z)dzdx = ± ∫ ∫Q(x,y(x,z),z)dzdx (3)
σ + Dxz
и если поверхность задана уравнением х=х(у,z)
∫ ∫ P(x,y,z)dydz = ±∫ ∫P(x(y,z),y,z)dydz. (4)
σ + Dyz
Для вычисления общего поверхностного интеграла II рода используются выше рассмотренные формулы,проектируя поверхность на все три координатные плоскости:
∫ ∫ P(х,у,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy=
σ +
= ±∫ ∫P(x(y,z),y,z)dydz ± ∫ ∫Q(x,y(x,z),z)dzdx ± ∫ ∫ R(x,y,z(x,y)) dxdy.
Dyz Dxz Dху
Если поверхность σ дана в форме F(x,y,z)=0,то косинусы
нормального вектора этой поверхности определяются по формулам:
; 
; 
,где
D = ± 
,
И выбирается знак перед радикалом в зависимости от поверхности внутренней или внешней.
Справедливо равенство:
cosα* dσ = dydz; cosβ* dσ = dzdx; cosγ * dσ = dxdy.
где dσ – элемент площади поверхности σ; cosα, cosβ, cosγ - направляющие косинусы нормали 
к выбранной стороне поверхности σ.
Если вычисление какого-либо из 3 интегралов уравнения поверхности
нельзя записать в форме адекватной, необходимо разделить поверхность на части и
считать как сумму интегралов.
По свойствам, если в интеграле между частями цилиндрической поверхности
образующие параллельны, например оси OZ, интеграл
∫ ∫ RcosγdS равен нулю, поскольку нормаль перпендикулярна образующей и
γ=π/2; cosγ=0.Также равна нулю и левая часть формулы (1),
потому что проекция на плоскость OXY - линия, не область.
Можно сделать аналогичное заключение и для других осей,если в интеграле
образующие части цилиндрической поверхности параллельны каким-либо другим осям.
ПРИМЕР: Вычислите ∫ ∫ xdydz+dzdx+xz2dxdy, если S
S
верхняя часть сферы x2+y2+z2=1 в I октанте.
Решение:
Проекции на плоскости z
соответственно
D1,D2,D3 , они являются ¼ части D2 D1
кругов с радиусом 1.
x D3 y
I1 = 
xdydz = 
,
I2 = dxdz = 
, I3 = xz²dxdy = 
/
Используем полярные координаты: y=rcosφ,z=rsenφ, 0≤θ≤π/2
I1 = 
.
I2 = 
.
В полярных координатах: х=rcosφ,у=rsenφ, 0≤θ≤π/2
I3 = 
.
I = I1+I2+I3 = π/6 + π/4+2/15 = 5π/12 + 2/15.
ПРИМЕР: Вычислите ∫ ∫ -xdydz+zdzdx+5dxdy по верхней стороне части плоскости
S
2х-3у+z=6, лежащей в IVоктанте. z
y
x
Знаем,что если поверхность σ дана в форме F(x,y,z)=0,то косинусы
нормального вектора этой поверхности определяются по формулам:
; ; ,где
D = ± ,
И выбирается знак перед радикалом в зависимости от поверхности -внутренней или внешней.
Тогда 
, 
, 
и нормальный вектор плоскости равен 
.
Вычислим направляющие косинусы: 
,
, 
, 
,
Поэтому перед двойным интегралом в формулах (2),(4) следует брать знак «+»,а в формуле (3) – знак «-».
2.3.Формула Остроградского-Гаусса.
Связь между поверхностным интегралом II рода по замкнутой поверхности
и тройным интегралом по обьему,ограниченному этой поверхностью
устанавливает следующая Теорема.
Если функции P, Q, R непрерывны вместе со своими частными производными
первого порядка в пространственной области V, то имеет место формула (1):
.
гдe 
=( cosα,cosβ,cosγ)-вектор нормали к поверхности S и S -граница области V
и интегрирование по S производится по ее внешней стороне.
Формула (1) называется ФОРМУЛОЙ ОСТРОГРАДСКОГО-ГАУССА (является
аналогом формулы Остроградского-Грина).
Замечание. 1).Формула (1) справедлива для любой области V,которую можно разбить на конечное число областей рассмотренного вида.
2).Формулу Остоградского-Гаусса можно использовать для вычисления поверхностных интегралов II рода по замкнутым поверхностям.
ПРИМЕР: Если поверхность S ограничивает область кубическую T, используя
формулу Остроградского-Гаусса (1), получим:
, гдe V - обьем тела.
Глава 17. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ.
§1.Основные понятия.
Теория поля – крупный раздел физики,механики,математики,в котором изучаются скалярные,векторные,тензорные поля.
К рассмотрению скалярных и векторных полей приводят многие задачи физики,электротехники, математики, механики и др.технических дисциплин.
Изучение одних физических полей способствует изучению других.Так например,силы всемирного тяготения,магнитные,электрические силы- все они изменяются обратно пропорционально квадрату расстояния от своего источника,вид силовых линий напоминает картину обтекания препятствий жидкостью и т.д.
Математическим ядром теории полдя являются такие понятия,как градиент,поток,потенциал,дивиргенция,ротор,циркуляция и др.Эти понятия важны и в усвоении основных идей математического анализа функций многих переменных.
Определение. Полем называется область V пространства,в каждой точке которой определено значение некоторой величины. Если каждой точке Р этой области соответствует определенное число u=f(P) = f(x,y,z),гдe P(x,y,z) говорят,что в области определено или задано скалярное поле(или функция точки).Иначе говоря,скалярное поле- это скалярная функция u=f(P) вместе с ее областью определения.
Если же каждой точке Р области пространства соответствует некоторый вектор а=а(Р),то говорят,что задано векторное поле(или векторная функция точки).
ПРИМЕРЫ СКАЛЯРНЫХ ПОЛЕЙ:
температуры(воздуха,тела…),
атмосферного давления,плотности(массы,воздуха…) и т.д.
ПРИМЕРЫ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ:
поле силы тяжести,
поле скоростей частиц текущей жидкости(ветра)
магнитное поле, и т.д.
§2.Скалярное поле.
Определение. Стационарным (установившимся) называется
скалярное(векторное) поле,если функция u=f(P) не зависит от времени.
Определение. Нестационарным (неустановившимся) называется
скалярное(векторное) поле,которое меняется с течением времени.
Далее рассматриваем только стационарные поля.
Запись поля возможно производить как в форме u=f(P) = f(x,y,z), так и
U=U(r), где r- радиус-вектор точки Р.
Определение. Плоским называется скалярное поле U(х,у),т.е. когда скалярная функция зависит только от 2 переменных х,у.
Аналогично: вектор 
,определяющий векторное поле,можно рассматривать как векторную функцию трех скалярных аргументов x,y,z: 
или 
.
Вектор можно представить в виде:
, где
- проекции вектора а на оси координат.
Если одна из проекций вектора равна нулю, а две другие зависят только от 2 переменных, то векторное поле называется плоским,например, 
.
Определение. Векторное поле называется однородным,если - постоянный вектор.т.е. P,Q,R - постоянные величины.Пример: поле тяжести – P=0,Q=0,R=-mg,
где g –ускорение силы тяжести, m -масса точки.
В дальнейшем считаем,что скалярные функции непрерывны вместе со своими частными производными.
ПРИМЕРЫ:
1).Функция u= 
определяет скалярное поле в точках пространства, ограниченного сферой с центром в начале координат и радиусом r=1.
2). скалярное поле u=
определено во всем пространстве, за исключением точек оси OZ(на ней х²+у²= 0).
Рассмотрим скалярное поле задаваемое функцией u= u(x,y,z).
Для наглядного представления скалярного поля используем поверхности и линии уровня.
Определение. Поверхностью уровня скалярного поля называется геометрическое место
точек,в которых функция принимает постоянное значение, т.е. f(x,y,z)=C, (1)
гдe C=constante.
Придавая в уравнении (1) величине С различные значения,получаем различные поверхности уровня,которые в совокупности как бы расслаивают поле.Через каждую точку поля проходит только одна поверхность уровня.Ее уравнение находят путем подстановки координат точки в уравнение (1).
Для скалярного поля,образованного функцией и = ,поверхностями
уровня является множество концентрических сфер с центрами в начале координат:
=С. При С=1 сфера представляет собой точку.
В случае плоского поля равенство f(x,y) = C представляет собой собой
уравнение линии уровня поля,т.е. линия на плоскости ОХУ,в точках которой функция
f(x,y) = C сохраняет постоянное значение.
В метеорологии,например,сети изобар и изотерм (линии одинаковых средних давлений и одинаковых средних температур) являются линиями уровня и представляют собой функции координат точек местности.
Линии уровня используются в математике при исследовании поверхностей методом сечений.
На рисунках представлены примеры,
U=xy U=y/x2
(1=xy,-1=xy,2=xy,-2=xy,…) (1=y/x2, -1= y/x2, 2=y/x2,…)
U=r2 U=1/r
(x2+y2=1, x2+y2=2, x2+y2=3,…) (x2+y2=1,x2+y2=1/2, x2+y2=1/3,…)
§3.Векторное поле.
Рассмотрим векторное поле,задаваемое вектором 
.Простейшей геометрической характеристикой поля являются векторные линии.
Определение. Векторной линией поля 
(линии силы,..) называется линия,касательная
к которой в каждой ее точке М имеет направление соответствующего ей вектора
|
|
|
|
Дата добавления: 2014-01-15; Просмотров: 724; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!