Экспоненциальной) форме ,где -модуль комплексного числа,а угол

.

.

Или.

Алгебраическая форма:.

Модуль и аргумент можно рассматривать как полярные координаты вектора , изображающего комплексное число ,тогда получаем:

, и комплексное число можно записать в виде:

Такая запись комплексного числа называется тригонометрической формой.

Модуль определяется по формуле: ,

аргумент определяется из формул .

Так как ,то , .

Поэтому при переходе от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической достаточно определить главное значение аргумента,т.е. считать

Так как , то из формулы получаем,что

.

Если точка лежит на действительной(ОХ) или на мнимой (ОУ) осях, то

можно найти непосредственно.

Например, для - точка находится на оси ОХ: х=2;

для - точка находится на оси ОХ: х=-3;

для - точка находится на оси ОУ: у=1;

для - точка находится на оси ОУ: у=-8.

ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА.

Комплексное число можно записать в показательной

В силу формулы Эйлера,функция - периодическая с основным периодом 2π.

Для записи комплексного числа z в показательной форме достаточно найти главное значение аргумента,т.е. .

ПРИМЕР. Записать комплексные числа и в тригонометрической и показательной формах.

Для : , ,т.е. .

Поэтому .

Для : , (II четверть), т.е. .

Поэтому .

1.3.Действия над комплексными числами.

Определение. Суммой двух комплексных чисел и называется

комплексное число,определяемое равенством .

Сложение комплексных чисел обладает:

переместительным свойством: ,

и сочетательным свойством: .

Геометрически комплексные числа складываются как векторы.

Определение. Разностью двух комплексных чисел и называют такое комплексное число , которое будучи сложенным с дает число :

,

при чем , т.е. модуль разности двух комплексных чисел равен расстоянию между точками,изображающими эти числа на плоскости.

ПРИМЕР. Равенство определяет на комплексной плоскостимножество точек

, находящихся на расстоянии 1 от точки , т.е. окружность с центром в

и радиусом 1.

у

х

Определение. Произведением двух комплексных чисел и называется

комплексное число,определяемое равенством .

Осюда следует,что .

Заметим,что - действительное число.

ПРИМЕР. 1). .

2). .

Произведение комплексных чисел обладает:

переместительным свойством: ,

сочетательным свойством: ,

распределительным(дистрибутивным) свойством: .

Произведение комплексных чисел,заданных в тригонометрической форме:

,

т.е. при умножении комплексных чисел их модули перемножаются,а аргументы складываются.

Это правило распространяется на любое конечное число множителей.

ФОРМУЛА МУАВРА.

.

ПРИМЕР. Найти .

Запишем число в тригонометрической форме: .

По формуле Муавра имеем:

Дата добавления: 2014-01-15; Просмотров: 751; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!