Положительное направление- против часовой стрелки(налево)

Рис.1.

Эту сумму называют интегральной суммой для функции f(х,у) по кривой АВ.

Основные свойства криволинейного интеграла 1-го рода.

1). , т.е криволинейный интеграл 1-го рода не зависит от направления интегрирования.

2). .

3). .

4). ,если путь интегрирования L разбит на части такие,что и имеют единственную общую точку.

5).Если для точек кривой L выполнено неравенство ,то .

6). .

7). Теорема о среднем. Если функция f(х,у) непрерывна на кривой АВ,то на этой кривой найдется точка такая,что .

1.2. Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода.

Явное представление кривой интегрирования.

Если кривая АВ задана уравнением ,где - непрерывно дифференцируемая функция,то . (1.2)

Подинтегральное выражение в правой части формулы получается заменой и

.

ПРИМЕР. Вычислить ,где АВ- отрезок прямой между точками О(0,0) и А(4,3).

Уравнение прямой ОА есть: , 3х=4у или , ,тогда

.

Параметрическое представление кривой интегрирования.

Если кривая АВ задана уравнениями ,где - непрерывно дифференцируемые функции параметра t,причем точке А соответствует ,точке В- значение ,то . (1.3)

Полярное представление кривой интегрирования.

Если плоская кривая АВ задана уравнением в полярных координатах,то . (1.4)

Подчеркнем,что нижний предел определенного интеграла в формулах (1.2)-(1.4) должен быть меньше верхнего.

1.3.Некоторые приложения криволинейного интеграла 1-го рода.

1). Длина кривой АВ плоской или пространственной линии вычисляется по формуле

.

2 ). Масса материальной кривой AB (провод,цепь,трос,…) определяется по формуле

,

где - плотность кривой в точке М.

3). Статические моменты,центр тяжести.

2). Если кривая АВ точкой С разбита на две части АС и СВ, то интеграл по всей кривой равен сумме интегралов по ее частям,т.е. .

3).Если кривая АВ лежит в плоскости,перпендикулярной оси Ох, то

,

Аналогично для кривой,лежащей в плоскости,перпендикулярной оси Оу:

.

4).Криволинейный интеграл по замкнутой кривой(обозначается ) не зависит от выбора начальной точки(зависит только от направления обхода кривой).

2.2. Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода.

Явное представление кривой интегрирования.

Если кривая АВ задана уравнением ,где и ее производная непрерывны на отрезке ,то

. (2.2)

ПРИМЕР. Вычислить ,где АВ- отрезок прямой между точками О(2,0) и А(4,2).

Уравнение прямой ОА есть: , 2х-4=2у или , ,тогда

.

Параметрическое представление кривой интегрирования.

Если кривая АВ задана уравнениями ,где - непрерывны вместе со своими производными,причем точке А соответствует ,точке В- значение ,то . (2.3)

2.3. Формула Остроградского-Грина.

Связь между двойным интегралом по области D и криволинейным интегралом по границе L этой области устанавливает формула Остроградского-Грина.

Пусть на плоскости Оху задана область D,ограниченная кривой,пересекающейся с прямыми,параллельными координатным осям не более чем в двух точках,т.е. область D – правильная.

ТЕОРЕМА. Если функции Р(х,у) и Q(х,у) непрерывны вместе со своими частными производными в области D,то имеет место формула

,

где L- граница области D и интегрирование вдоль кривой L производится в положительном направлении(при движении вдоль кривой область D остается слева).

ПРИМЕР. Вычислить с помощью формулы Грина: вдоль контура L,который является треугольником с вершинами А(0,0),В(1,0),С(0,1).

Найдем ,уравнения линий АВ:у=0, АС: х=0, ВС:у=1-х, тогда по формуле Грина:

=.

2.4.Некоторые приложения криволинейного интеграла 2-го рода.

1). Работа переменной силы.

Дата добавления: 2014-01-15; Просмотров: 547; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!